Zadania 3. zimného kola - Ahojte, Rieškari! Skončilo sa nám druhé letné kolo, a teda prichádzajú zadania tretieho kola aj s pokračovaním príbehu! Môžete ich nájsť v sekcii zadania máte na nich čas do 26. … Prejsť na článok
×8. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Je dané prvočíslo p a celé čísla m, n tak, že platí 0 < m < n < p.
Ďalej nech platí, že p delí m^2 + 1 a že p delí aj n^2 + 1.
Dokážte, že p delí m \cdot n - 1.
Vzorové riešenie
Všeobecne platí, že ak platí a/b a a/c, tak a/b-c (slovne, ak číslo a delí čísla b aj c, tak potom delí ich rozdiel).
Zo zadania platí, že p/n^2+1 a p/m^2+1. Tým, že n>m, tak potom platí p/m^2+1-(n^2+1), čiže p/n^2-m^2. n^2-m^2 vieme upraviť na zátvorky, čiže p/(n+m)(n-m).
Vieme, že aspoň jedno z n+m a n-m musí byť násobkom p.
Platí p>n-m, čo vyplýva z nerovnosti 0 (n už je menšie ako p a zmenšujeme ho kladným číslom). Všeobecne vieme, že väčšie číslo nemôže byť deliteľom menšieho čísla, čiže p nie je deliteľom n-m.
Tým pádom n+m je násobkom p. Avšak z toho, že m a n vyplýva n+m<2p. Ak n+m je násobok p menší ako 2p, tak musí platiť n+m=p.
Odčítaním m v rovnosti dostávame n=p-m
Dosadením p-m do výrazu mn-1 dostávame m(p-m)-1=mp-m^2-1=\underline{mp-(m^2+1)}. Platí, že p delí mp a zo zadania vieme, že p delí m^2+1, čiže bude vedieť deliť ich rozdiel, mp-(m^2+1).
Tým, že mp-(m^2+1)=mn-1, tak platí \bold{p/mn-1}.