7. príklad - Vzorové riešenie

Ako prvé si uvedomme, že keďže deväťuholník a šesť uholník zdieľajú stranu a sú oba pravielné, tak všetky ich strany sú rovnako dlhé. Ďalej si všimnime, že to H,M,D sa nachádzajú na jednej priamke len vtedy keď uhly \angle IHM a \angle IHD sú rovnaké. 

Najprv potrebujeme jeden známy fakt^1, a to, že súčet vnútorných uhlov n-uholníka je (n-2)\cdot 180^\circKeďže v pravideľnom n-uholníku je každý uhol rovnako veľký, tak ich veľkosti musia byť n-tina z celkového súčtu uhlov, teda \frac{n-2}{n}\cdot 180^\circ

Pre 6-uholník to je teda \frac{6-2}{6}\cdot 180^\circ =\frac{4}{6}\cdot 180^\circ = 120^\circ a pre 9-uholník \frac{9-2}{9}\cdot 180^\circ =\frac{7}{9}\cdot 180^\circ = 140^\circ

Všimnime si, že uhol \angle HIM je len rozdielom uhlov \angle HIA a \angle MIA, ktoré vieme, že sú 140^\circ a 120^\circ respektívne, vo výsledku teda |\angle HIM| =140^\circ-120^\circ=20^\circ. Teraz sa pozrieme na trojuholník \triangle IHM. Všimnime si, že je rovnoramenný, lebo zo zadania aj 6 aj 9-uholník majú rovnako veľké strany, keďže sú pravideľné a zdieľajú jednu stranu. Teda zvyšné uhly \triangle IHM sú rovnako veľké a keďže |\angle HIM|=20^\circ a súčet uhlov v trojuholníku je 180^\circ tak |\angle IHM|=(180^\circ-20^\circ):2=80^\circ

Teraz sa pozrime ako vyrátame uhol \angle IHD. Pozrime sa na 6-uholník ABCDHI. Všimnime si, že je osovo súmerný podľa osi úsečky AB, teda uhly \angle IHD a \angle HDC sú rovnaké. Zároveň vieme, že všetky vzyšné uhly sú 140^\circ a súčet uhlov v 6-uholníku je (6-2)\cdot 180^\circ=720^\circ

S týmito informáciami viem teda vypočítať \angle IHD ako

|\angle IHD| = (720^\circ - 4\cdot 140^\circ):2=80^\circ

Keďže sme dokázali, že |\angle IHM|=|\angle IHD| = 80^\circ tak teda nutne musia H, M, D ležať na jednej priamke.

Poznámka 1: Tento fakt si aj dokážeme, ale len pre konvexné n-uholníky (také že úsečka medzi ľubovoľnými dvoma bodmi v n-uholníku sa nachádza celá v jeho vnútri). Toto nám na vyriešenie úlohy stačí.

Zoberme si ľubovoľný bod vnútri (X na obrázku) a spojme ho s jednotlivými vrcholmi.

Takto vytvoríme n trojuholníkov. Teraz si všimnime,  že súčet vnútorných uhlov n-uholníka je rovný súčtu vnútorných uhlov trojuholníkov mínus súčet uhlov pri X, čo je plný uhol teda 360^\circ, výsledne teda:

n\cdot 180^\circ-360^\circ=n\cdot 180^\circ-2\cdot180^\circ=(n-2)\cdot180^\circ