Zadania 3. zimného kola - Ahojte, Rieškari! Skončilo sa nám druhé letné kolo, a teda prichádzajú zadania tretieho kola aj s pokračovaním príbehu! Môžete ich nájsť v sekcii zadania máte na nich čas do 26. … Prejsť na článok
×10. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Sendvič má tvar pravouhlého trojuholníka ABC s pravým uhlom pri C, v ktorom ležia body Q a R postupne na odvesnách BC a CA a body P a S na prepone AB.
Dokážte, že |PQ| + |QR| + |RS| \geq 2h, kde h je dĺžka výšky z bodu C na preponu AB.
Vzorové riešenie
Pozrime sa na to, akú najkratšiu dĺžku môžu mať PQ a RS.
Je známe, že najkratšia spojnica bodu a priamky je kolmica, teda dĺžka PQ bude najmenšia, keď pre fixné Q zvolíme P ako pätu komice z Q na AB a podobne pre RS. Ak teda spustíme z bodov Q a R kolmice na priamku AB a body, v ktorých pretnú AB si označíme P’ a S’, tak pre ľubovoľné P a S bude platiť, že |PQ| \ge |P’Q| a podobne |RS| \ge |RS’|. Môžeme si teda upraviť nerovnosť, ktorú chceme dokázať nasledovne: |PQ| + |QR| + |RS| \ge |QR| + |P’Q| + |RS’| \ge 2h.
Zvoľme si bod M ako stred úsečky QR. Pätu kolmice z bodu M na AB si označme K. Všimnime si, že nakoľko uhol RCQ má 90°, tak kružnica so stredom v bode M a priemerom QR je Talesova a bod C leží na tejto kružnici. Platí teda, že aj CM je polomer tejto Talesovej kružnice, a teda |MQ| = |MR| = |CM|, z čoho dostávame |QR| = |MR| + |MQ| = 2 \cdot |CM|.
Pozrime sa teraz na štvoruholník P’QRS’. Keďže úsečky P’Q, RS’ aj MK sú kolmé na AB, tak sú navzájom rovnobežné, a teda štvoruholník P’QRS’ je lichobežník, lebo dve jeho protiľahlé strany sú rovnobežné. Priamka MK prechádza stredom strany QR a zároveň je rovnobežná so základňou lichobežníka P’Q, teda je to stredná priečka tohto lichobežníka a pre jej dĺžku platí, že |MK| = \frac {|P'Q|+|RS'|} 2, teda |P'Q| + |RS'| = 2 \cdot |MK|.
Vieme teda, že |PQ| + |QR| + |RS| \ge |QR| + |QP’| + |RS’| = 2 \cdot |MK| + 2 \cdot |CM|.
Dokážeme ešte, že MK + CM \ge h.
Urobíme si priamku r vedenú bodom C rovnobežnú s priamkou AB a jej priesečník s priamkou MK si označíme U. Nakoľko priamka MK je kolmá na AB, tak bude kolmá aj na priamku r, a teda pokiaľ je bod U rôzny od C, tak nám vznikne pravouhlý trojuholník CMU s pravým uhlom pri vrchole U. V pravouhlom trojuholníku vieme, že prepona je vždy ostro väčšia ako odvesna, teda platí, že |CM| > |UM|. Ak je bod U totožný s bodom C, tak zjavne |CM| = |UM|, teda všeobecne platí, že |CM| >= |UM|.
Výška h má rovnakú dĺžku ako úsečka KU, lebo obe predstavujú vzdialenosť dvoch rovnobežných priamok AB a r, a teda keďže h=KU = MK + UM, tak |MK| + |CM| \ge |MK| + |UM| = h.
Dosadíme do našej nerovnice:
|PQ| + |QR| +|RS| \ge |QR| + |QP’| + |RS’| = 2 \cdot |MK| + 2 \cdot |CM| \ge 2h
Čo sme chceli dokázať.