Zadania 2. zimného kola - Ahojte, Rieškari! Prvé zimné kolo máme úspešne za sebou. Čaká nás teda druhé kolo a s ním aj pokračovanie príbehu! Úlohy môžete nájsť tu a máte na ne čas do … Prejsť na článok
×9. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Nech S(n) označuje ciferný súčet prirodzeného čísla n.
Skutočná vzdialenosť pyramídy od Viktora je n metrov.
Vlniaci sa vzduch vzdialenosť pyramídy skreslí znovu a potom ešte raz, takže Viktor nakoniec vidí pyramídu vo vzdialenosti
n+S(n)+S(S(n))+S(S(S(n)))=2017
Nájdite všetky možné hodnoty n.
Vzorové riešenie
Začneme tým, že sa pokúsime zmenšiť rozsah, v ktorom sa môže nachádzať n.
Nakoľko ciferný súčet je vždy kladné číslo, teda je aspoň 1, tak z n+S(n)+S(S(n))+S(S(S(n)))=2017 vyplýva, že n \le 2014, čo je horná hranica ohraničenia pre n.
Aby sme našli dolné ohraničenie pre n, pozrieme sa na najväčšie možné hodnoty S(n), S(S(n)) a S(S(S(n)). Nakoľko n \le 2014, tak najväčšie S(n) dosiahneme pre n=1999, a teda S(n)\le28. Potom S(n) bude mať najväčší ciferný súčet pre S(n)=28 alebo 19, teda S(S(n))\le10 a podobne S(S(S(n)))\le9, nakoľko S(S(n)) má najväčší ciferný súčet pre S(S(n))=9.
Zistili sme teda, že S(n)+S(S(n))+S(S(S(n)))\le47, a teda n \ge 2017-47=1970.
Platí teda 1970 \le n \le 2014.
Aby platila rovnosť zo zadania, tak obe strany rovnice musia mať rovnaký zvyšok po delení 9. Teda nakoľko 2017 má zvyšok 1 po delení 9, tak aj n + S(n)+S(S(n))+S(S(S(n))) musí mať zvyšok 1 po delení 9.
Je známe, že číslo má rovnaký zvyšok po delení 9 ako jeho ciferný súčet. Pre tých, ktorých to zaujíma, toto tvrdenie je dokázané v poznámke na konci.
Z toho vyplýva, že n, S(n), S(S(n)) a S(S(S(n))) majú rovnaký zvyšok po delení 9, a teda ak označíme tento zvyšok 0\le k\le8, tak musí platiť, že 4k má zvyšok 1 po delení 9.
Vyskúšame všetky možnosti na k, aby sme zistili, kedy to vie platiť:
| k | 4k | zvyšok po delení 9 |
|---|---|---|
| 0 | 0 | 0 |
| 1 | 4 | 4 |
| 2 | 8 | 8 |
| 3 | 12 | 3 |
| 4 | 16 | 7 |
| 5 | 20 | 2 |
| 6 | 24 | 6 |
| 7 | 28 | 1 |
| 8 | 32 | 5 |
Teda jediné vyhovujúce k je 7 a n musí mať zvyšok 7 po delení 9.
Vyskúšame teda všetky 1970\le n \le 2014, ktoré dávajú zvyšok 7 po delení 9 a zistíme, akú hodnotu bude mať výraz n + S(n)+S(S(n))+S(S(S(n))):
| n | S(n) | S(S(n)) | S(S(S(n))) | Súčet |
|---|---|---|---|---|
| 1978 | 25 | 7 | 7 | 2017 |
| 1987 | 25 | 7 | 7 | 2026 |
| 1996 | 25 | 7 | 7 | 2035 |
| 2005 | 7 | 7 | 7 | 2026 |
| 2014 | 7 | 7 | 7 | 2035 |
Poznámka
Chceme dokázať, že ciferný súčet čísla n má rovnaký zvyšok po delení 9 ako n.
Ukážeme si to pre trojciferné číslo s ciframi abc. Toto číslo vieme zapísať ako 100a+10b+c = 99a + 9b + a + b + c = 9 \cdot (11a+b)+a+b+c. Takže nakoľko 9 \cdot (11a+b) je deliteľné 9, tak 100a+10b+c musí mať rovnaký zvyšok po delení 9 ako a+b+c, čo je jeho ciferný súčet.
Podobne vieme toto tvrdenie ukázať aj pre čísla s iným počtom cifier.