Riešky tábor 2026 - Milí Rieškari, aj toto leto nás čaká Letný tábor Riešok, na ktorý vás srdečne pozývame. Tábor je desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne si vytvoríte kopu … Prejsť na článok
×7. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Don Chladivý a komisár Krivý hrajú hru, pričom don Chladivý začína. Na stole leží v rade za sebou 13 kôpok po jednej minci. Chladivý si vo svojom ťahu vyberie 5 kôpok za sebou a na vrch každej z nich pridá jednu mincu. Krivý si vo svojom ťahu vyberie ľubovoľné 3 kôpky a z každej z nich odoberie jednu mincu.
Nájdite najväčšie K, pre ktoré vie Chladivý zaručiť (bez ohľadu na to, ako hrá Krivý), že v nejakom momente hry bude v rade za sebou K kôpok s aspoň 42 mincami.
Vzorové riešenie
Keď si vyskúšame, ako táto hra bude prebiehať, zistíme, že celkový počet mincí sa vždy zvyšuje. Je to preto, že don Chladivý pridá v každom svojom ťahu až 5 mincí, zatiaľ čo komisár Krivý ich odoberie iba 3. Časom počet mincí narastie natoľko, že na niektorej kôpke bude musieť byť aspoň 42 mincí (keď bude dokopy aspoň 41 \cdot 13 + 1 = 534 mincí). To znamená, že K je aspoň 1 (don Chladivý vie spraviť jednu kôpku so 42 a viac mincami).
Poďme sa teraz pozrieť na K=2. Ak by chcel komisár Krivý zabrániť donovi Chladivému dať aspoň 42 mincí na dve kôpky za sebou, musel by v nízkych počtoch (menej ako 42) udržať aspoň každú druhú kôpku (nechce predsa nechať narásť žiadne dve kôpky vedľa seba). Tak to poďme skúsiť.
Môžeme skúsiť napríklad vybrať už na začiatku každú druhú kôpku z našich trinástich a iba tie udržovať v nízkych číslach, ak sa nám to podarí, tak komisár Krivý vie donovi Chladivému K=2 prekaziť. Skúsme udržať kôpky zvýraznené na obrázku zelenou na menej ako 42 minciach a červené nechajme tak.
Zelených kôpok je 6, teda komisár Krivý nemôže vždy zobrať mincu z každej zelenej kôpky. Avšak ani don Chladivý nevie dať mincu na veľa zelených kôpok naraz - keďže dáva mincu na päť po sebe idúcich kôpok, nikdy nedokáže dať mincu na viac, ako tri zelené kôpky (buď dá mincu na dve alebo tri zelené kôpky).
To znamená, že kdekoľvek don Chladivý dá mince, na zelené kôpky pridal najviac tri mince a teda komisár Krivý vie presne tieto tri mince zasa zobrať. Ak don Chladivý dá mince len na dve zelené kôpky, tým lepšie pre Krivého. Komisár Krivý môže z týchto dvoch zelených tú mincu zasa zobrať a má ešte jedno zobratie navyše, čo mu nikdy neuškodí.
Komisár Krivý teda vie vždy dosiahnuť, že po jeho ťahu bude na zelených kôpkach rovnako veľa mincí ako na začiatku hry. Donovi Chladivému sa teda nepodarí dosiahnuť a 42 viac mincí ani na dvoch susedných kôpkach a teda K=1.