Riešky tábor 2026 - Milí Rieškari, aj toto leto nás čaká Letný tábor Riešok, na ktorý vás srdečne pozývame. Tábor je desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne si vytvoríte kopu … Prejsť na článok
×5. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Máme 6 čísel: 2, 3, 4, 5, 6 a 7 a ďalej máme 6 operácií: +, -, -, \times, \times a \div.
Big J. zadal kód - ľubovoľné prirodzené číslo k. Potom vložil kartu a tým na k aplikoval jednu z operácií spojenú s jedným z čísel (napríklad k+3 alebo k\div 7). Toto zopakoval ešte 5-krát s novovzniknutým číslom, pričom po každej operácii vzniklo nejaké prirodzené číslo. Každú operáciu a každé číslo použil práve raz a posledná operácia nebola delenie.
Nájdite všetky možnosti aké operácie a čísla mohli byť spolu na kartách a v akom poradí sa aplikovali (napríklad jedna možnosť je \div 2, \times 6, -7, -3, +5, \times 4) tak, aby bez ohľadu na to, aké bolo pôvodné číslo k, na konci vždy vzniklo toto číslo.
Vzorové riešenie
Na začiatku máme číslo k, a po šiestich operáciách musíme dostať znova číslo k. Tieto operácie môžu rôzne zmeniť číslo, ale vždy to bude x×k+y. Napríklad ak najprv použijeme +3 tak dostaneme k+3 (teda 1×k+3), a ak potom použijeme ×5 tak dostaneme 5×(k+3)=5×k+15. Vždy keď použijeme sčítanie alebo odčítanie, zmení sa nám iba y - nebude to mať vplyv na to, koľkonásobok pôvodného k máme. Keď však násobíme, zmení sa nám aj x aj y. Na konci budeme chcieť dostať 1×k+0, teda pôvodné k.
Pozrime sa najprv na operácie ktoré menia násobok k (teda menia x). To sú iba jedno delenie a dve násobenia. Dohromady nám musí vzniknúť dvomi násobeniami taký násobok k, ktorý vieme potom vydeliť naspäť na jednotku iba jedným delením. To sa dá iba pomocou ×2, ×3, \div 6. Ak by sme násobili hociktorými väčšími číslami, museli by sme potom deliť aspoň 8-kou (2×4 je druhá najmenšia možnosť), a tak veľké číslo nemáme. Tieto operácie možno nemusia byť hneď za sebou, ale vieme že delenie z nich bude posledné. Inak by sme v nejakom kroku dostali zlomok k-čka, a keďže k je čokoľvek, niekedy dostaneme aj necelé číslo (napríklad \frac{(k+2)×3}{6}=\frac{k}{2}+1).
Máme teda kartičky ×2, ×3, \div6 v tomto poradí, alebo v poradí ×3, ×2, \div6. Ostatné kartičky budú mať operácie +, -, - a čísla 4, 5, 7 a budú umiestnené niekde pomedzi nimi.
Podľa toho, kde presne budú sčítania a odčítania umiestnené, sa zmení ako veľmi ovplyvňujú celkový súčet, teda číslo y. Ak dáme číslo na koniec, proste sa pričíta (alebo odčíta) tak, ako je. Ak ho dáme na začiatok, pred ×2, ×3 aj \div6, tak sa nám pričíta, potom sa vynásobí a znova vydelí, čím ostane znova rovnaké. Ak by ale číslo bolo po ×2 aj ×3, tak sa nám iba vydelí, teda do celkového súčtu pôjde jeho šestina (napríklad pri ×3, ×2, +7, \div6 dostávame \frac{6k+7}{6}=k+\frac{7}{6}. Podobne, ak by číslo bolo pričítané alebo odčítané po ×3 ale pred ×2 a /6, do celkového súčtu pôjde tretina, a ak po ×2 ale pred ×3, pôjde tam polovica. Tieto možnosti zhrnieme v tabuľke. Aby bola prehľadnejšia, napíšeme čísla so spoločným menovateľom, teda koľko šestín bude vo finálnom súčte.
číslo na kartičke | pred/po všetkom | po ×2 | po ×3 | po ×2 aj ×3 |
|---|---|---|---|---|
4 | \frac{24}{6} | \frac{12}{6} | \frac{8}{6} | \frac{4}{6} |
5 | \frac{30}{6} | \frac{15}{6} | \frac{10}{6} | \frac{5}{6} |
7 | \frac{42}{6} | \frac{21}{6} | \frac{14}{6} | \frac{7}{6} |
Tu potrebujeme vybrať čísla tak, aby celkový súčet bol 0 (y má byť rovné 0). Vieme ale, že aspoň jedno z týchto čísel musí byť až úplne na konci (po delení 6 musí niečo podľa zadania byť). Zároveň toto číslo nebude so znamienkom +, pretože ak by pred ním boli 2 odčítania, tak v prípade k=1 dosiahneme záporný medzivýsledok.
Ak bude na konci -4, potrebujeme zo 7 a 5 jedno odčítať a druhé pričítať tak, aby výsledný rozdiel bol \frac{24}{6}. To z tabuľky vidíme že nejde (nemáme ani \frac{30}{6}-\frac{24}{6}=\frac{6}{6} ani \frac{42}{6}-\frac{24}{6}=\frac{18}{6}). Ak bude na konci -5, rozdiel dvoch zvyšných musí byť \frac{30}{6}, čo dokážeme poskladať iba pomocou \frac{42}{6} a \frac{12}{6} (všetky ostatné čísla sú menšie ako \frac{30}{6}). Pre prípad 7 na konci nebude žiadna možnosť, pretože všetky čísla sú menšie ako \frac{42}{6}, teda nemôžu mať taký rozdiel.
Vyšlo nám teda, že na konci sa nachádza -5. Pred tým niekde máme +7 tak, že vo finálnom súčte vytvorí \frac{42}{6} - teda pred násobeniami alebo až po delení, a máme tam aj -4 tak, že vytvorí -\frac{12}{6}, teda po ×2 ale pred ×3 a \div6.
Poznáme už teda poradie kartičiek ×2, -4, ×3, \div6, -5. +7 musíme pridať na začiatok a nie na koniec, pretože inak by sme sa s k=1 dostali do záporu (1*2-4=-2). Toto je jediná možnosť, ako nezískať násobok k (iný ako 1) a vynulovať zvyšné čísla.
Odpoveď: Karty sa sa aplikovali v poradí +7, ×2, -4, ×3, \div6, -5