7. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Na otvorenie zámku museli do klávesnice zadať 5 rôznych cifier a, b, c, d, e a kladné celé číslo x, pre ktoré platí: a! \cdot b! \cdot c! \cdot d! \cdot e!=x!. Nájdite všetky možnosti cifier, pre ktoré existuje kladné celé x, aby daná rovnica platila.
Poznámka: Faktoriál čísla n sa definuje ako súčin n \cdot (n-1)\cdot (n-2) \cdot \dots \cdot 1 = n!. Ak n = 0, tak 0! = 1. Potom napr. 4 faktoriál: 4! = 4 \cdot 3 \cdot 2 \cdot 1=24.Vzorové riešenie
V tomto riešení sa často využije dôkaz pomocou prvočíselného rozkladu strán rovnice. Ak x! obsahuje niektoré prvočíslo, tak aspoň jeden faktoriál na druhej strane ho musí obsahovať tiež, aby sa mohli rovnať. To sa stane práve vtedy, keď je základ tohoto faktoriálu väčší alebo rovný prvočíslu (takže ak x \gt p). Prvočíslo totiž nemá žiadnych deliteľov, z ktorých by sme ho mohli násobením dostať. Dokonca sa v rozklade musí nachádzať rovnako veľa krát na pravej aj na ľavej strane, pretože aby sa dve čísla rovnali, musia mať presne rovnaký prvočíselný rozklad.
Začnime tým, že sa pokúsime ohraničiť, aké rôzne x prichádza do úvahy. Ak by to bolo 11 alebo viac, potrebovali by sme mať prvočíslo 11 aj v súčine a! \cdot b! \cdot c! \cdot d! \cdot e! na druhej strane. To sú ale všetko cifry (menšie ako 10), takže to nebude možné. Teda \mathbf{x\lt 11}. Teraz si ohraničme zo spodu, cifry na ľavej strane musia byť rôzne, ich súčin je teda najmenej 0! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 4!=288. Takže x! musí byť viac ako 5!=120, teda \mathbf{x\gt 5}.
Zároveň vieme, že pre každé x môžeme používať iba cifry menšie ako x-1. Ak by sme použili (x-1)!, máme minimálne 0! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot (x-1)!=12 \cdot (x-1)!, teda to by sa dalo iba pre x\gt 12, čo sme už vylúčili.
Zostávajúce možnosti 6\leq x\lt 11 už zvládneme prejsť postupne, a pokúsime sa vyhnúť zbytočnému skúšaniu:
\mathbf{x=6}: 6! obsahuje v súčine prvočíslo 5, ale najväčší faktoriál môže byť 4!, teda ju nemáme ako dostať.
\mathbf{x=7}: 7! obsahuje v súčine prvočíslo 7, čo je okamžite problém, pretože by sme museli použiť 7!.
\mathbf{x=8}: Opäť potrebujeme 7 v niektorom faktoriáli, ale môžeme použiť najviac 6!.
\mathbf{x=9}: Stále potrebujeme cifru 7, a väčšie cifry ani mať nemôžeme. Máme minimálne:
0! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 3! \cdot 7!=60480\lt 362880=9!
Musíme teda použiť niektoré väčšie faktoriály. Vieme, že ich súčin musí byť 9!/7!=72. 6! aj 5! sú príliš veľké, jediná možnosť je teda použiť 4!, po ktorom nám zostane ešte súčin 72/4!=3. Musíme teda použiť už len faktoriály menšie ako 3 čo nevychádza: 0! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 4! \cdot 7!=241920\neq362880=9!
\mathbf{x=10}: Opäť potrebujeme prvočíslo 7, ale teraz ho vieme získať pomocou 8! aj 7!.
Ak vezmeme \mathbf{8!} ako najväčší faktoriál, zvyšné musia mať súčin 10!/8!=90. To má vo svojom rozklade prvočíslo 5, no ak by sme chceli použiť 5!, dostaneme prinajmenšom: 0! \cdot 1! \cdot 2! \cdot 5! \cdot 8!=9676800\gt 3628800=10!.
Ak vezmeme \mathbf{7!} ako najväčší faktoriál, zvyšné musia mať súčin 10!/7!=720. Ak by sme ako druhý najväčší použili 6!, ostatné tri faktoriály by museli mať súčin 1, čo nie je možné. 5! ale už použiť musíme, aby sme v rozklade mali potrebné prvočíslo 5. Potom nám ostáva získať súčin 720/5!=6=3!. Inú možnosť ani nemáme, pretože potrebujeme prvočíslo 3.
Prešli sme teda všetky prípustné x, a pri každom sme vyskúšali všetky možnosti pre zvyšné cifry.
Odpoveď: Jediné riešenie je 10!=7! \cdot 5! \cdot 3! \cdot 1! \cdot 0!