6. príklad - Vzorové riešenie

V úlohe budeme postupne z obdĺžnika ABCD uberať obsahy trojuholníkov, kým nám neostane len obsah trojuholníka FIG. Vieme, že obsah ABCD je 1, takže |AB| \cdot |BC| = |AD| \cdot |DC| = 1​​

Všimnime si že obsah pravouhlého trojuholníka je \frac{ab}{2}​ pričom a​ a b sú dĺžky strán ktoré sú na seba kolmé. Z toho dôvodu vieme, že keďže je E​ v polovici DC​ a F​ v polovici AD tak obsah:

S_{FED} = \frac{\frac{|AD|}{2}\cdot \frac{|DC|}{2}}{2} = \frac{|AD|\cdot |DC|}{8} = \frac{1}{8}​

Podobne vieme dostať, že:

S_{BCE} = \frac{|BC| \cdot \frac{|CD|}{2}}{2} = \frac{|BC| \cdot |CD|}{4} = \frac{1}{4}​  

a taktiež:

S_{ABF} = \frac{|AB| \cdot \frac{|DA|}{2}}{2} = \frac{|AB| \cdot |DA|}{4} = \frac{1}{4}​​

Takže: 

S_{FBE} = S_{ABCD} - S_{ABF} - S_{BCE} - S_{FED} = 1 - \frac{1}{4} - \frac{1}{4} - \frac{1}{8} = \frac{3}{8} ​

Pozrime sa na trojuholníky FBG a EGB. Majú rovnako dlhú výšku, lebo je to len výška v trojuholníku FBE. A keďže G leží v strede strany, tak majú aj rovnakú dĺžku strany, |FG| = |GE|. Keďže sa obsah trojuholníka odvíja len od strany a veľkosti výšky na danú stranu, tak trojuholníky FGB a EGB majú rovnaký obsah. Takže:

​S_{FBG} = \frac{1}{2} \cdot S_{FBE} = \frac{3}{16}

Teraz znovu využijeme rovnakú myšlienku, lenže na trojuholníku FBG, kde ho rozdelíme na trojuholníky BIF a IGF. Výšku majú stále rovnakú, ale tentokrát |GI| = 3|IB|​, takže S_{FIG} bude 3-krát väčší ako S_{BIF}. To znamená, že:

S_{FIG} = \frac{3}{4} \cdot S_{FBG} = \frac{9}{64}

Odpoveď: Obsah trojuholníka FIG je \frac{9}{64}.