5. príklad - Vzorové riešenie

​V tabuľke chceme nájsť počet štvorcov. Na prvý pohľad sa nám môže zdať, že ich tam je veľa, sú rôznych veľkostí a máme tak trochu chaos v tom, kde je ktorý, keďže sa prekrývajú. Preto ich budeme počítať postupne po veľkostiach. Ak sa prekrývajú, použijeme viac obrázkov
Začneme so štvorcami ktorých rozmer je 1\times1​. Tých je v tabuľke dvanásť, sú vyznačené modrou.

​Potom sa pozrieme na štvorce s veľkosťou hrany 2​, tých je šesť. Máme ich v štyroch tabuľkách a sú vyznačené žltou.

Štvorce so stranou dlhou 3​ sú len dva. Keďže sa prekrývajú, opäť použijeme dve tabuľky. Štvorce sú tentokrát zelené.

V tabuľke nie sú štvorce so stranou dlhou 4​, lebo jeden rozmer tabuľky je 3​ a to je menšie ako hrana tohto štvorca, čiže by sa tento štvorec nezmestil.​​
Ak si počty všetkých veľkostí štvorcov sčítame dokopy, dostávame 12+6+2=20​.

Teraz prejdeme k odoberaniu zápaliek. Ako prvé sa zamyslíme nad tým, ako funguje zbavovanie sa štvorcov o veľkosti 1\times1​. Vieme si všimnúť, že keď odoberieme zápalku na obvode tabuľky, tak sa zbavíme iba jedného štvorca 1\times1​.

Keď odoberieme zápalku z vnútra tabuľky tak sa zbavíme dvoch štvorcov 1\times1​, lebo zápalka slúži ako strana pre dva štvorce.

Keď sa vieme jednou zápalkou zbaviť dvoch štvorcov 1\times1​, tak zbaviť sa všetkých 1\times1​ štvorcov vieme pomocou 12\div2=6​ zápaliek. Možností, ako toto spraviť je viac, ako malé kombinatorické cvičenie môžete skúsiť nájsť všetky :). Jedno z nich vyzerá takto:

Teraz, keď sa vieme zbaviť všetkých 1\times1​ štvorcov pomocou 6​ zápaliek. Treba si dať pozor na ostatné typy štvorcov a určite ste si všimli, že v minulom obrázku je jeden štvorec 2\times2​:

Otázkou teda je, či vieme odobrať 6​ zápaliek tak, že takýto štvorec nevznikne.

Tým že máme 6​ zápaliek na dvanásť štvorcov, tak si potrebujeme rozdeliť štvorce tak, aby každou odobratou zápalkou sme pokazili dva štvorce. Teda nám vznikne 6​ obdĺžnikov 1\times2​, ktoré sa snažíme dať do tabuľky, tak aby nám nevznikol štvorec 2\times2​.

Poďme si prebrať všetky možnosti, ako môže vyzerať ľavý okraj.
Môžu tam byť tri obdĺžniky horizontálne. V takom prípade už rovno máme dva štvorce 2\times2​, takže takto ľavý okraj vyzerať nebude.

Jediná druhá možnosť, ako to tam vie vyzerať je, že tam je jeden vertikálne a jeden horizontálne. V takomto prípade sa pozrime na miesta vedľa toho vertikálneho (sú vyšrafované v obrázku).

Ak tam dáme jeden obdĺžnik vertikálne, vznikne tam štvorec 2\times2​.

Z toho vyplýva, že tam bude určite aspoň jeden obdĺžnik horizontálne (pozri obrázok).

Akonáhle tam ale dáme jeden obdĺžnik horizontálne, jediný ďalší spôsob, ako zaplniť prázdne miesto pod ním alebo nad ním je pomocou ďalšieho horizontálneho obdĺžnika, čím vznikne štvorec 2\times2​.

Teda vo všetkých možnostiach sa nachádza ešte stále štvorec. To znamená že treba odobrať ešte jednu ďalšiu zápalku na to aby sme odstránili aj ten jeden. treba teda  7 zápaliek.
Možností ako odoberať 7​ zápaliek je viac. Jedna z tých, ktoré spĺňajú zadanie je napríklad táto:

Odpoveď: Počet štvorcov je 20​ a najmenej 7​ zápaliek je potrebné odstrániť na to, aby tam žiadny nezostal.