4. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8

Zadanie

V Orlokovej mladosti žili v dedine tri upírie rodiny. Každá rodina mala iný počet detí - upírčat. Pekár im na narodeniny upiekol tri rovnako veľké torty - pre každú rodinu jednu. Upírčatá z každej rodiny si svoju rodinnú tortu rozdelili spravodlivo (teda každé upírča dostalo rovnaký diel). Keby sa stretli 3 upírčatá (každé z inej rodiny) a spojili svoje kúsky torty, dostali by jednu celú tortu. Koľko upírčat môžu mať jednotlivé rodiny? Nájdite všetky možnosti.

Vzorové riešenie

Opravovali: Adel, Matuspokorny, alytsa

Ak máme 3 čísla A,B a C, tak je jedno z nich určite najväčšie, iné v strede a posledné najmenšie, keďže každá rodina má iný počet detí, teda celá torta je dokopy\frac {1}{A}+\frac{1}{B}+\frac{1}{C}​​ . 

Ak by jedna rodina, napríklad C, mala 1 dieťa, tak daná rovnica už určite nemá riešenie, lebo \frac {1}{A}+\frac{1}{B} by sa muselo rovnať 0, čo pre kladné A,B​ nie je možné.

Pozrime sa teraz, čo sa stane, ak nemáme rodinu, ktorá má práve 2 deti. Potom maximum, ktoré môžu mať 3​ upírčatá spolu je \frac {1}{3}+\frac{1}{4}+\frac{1}{5}=\frac {47}{60}, čo je menej, než 1.

Teda musí existovať rodina s práve 2 deťmi, inak by mali 3 upírčatá dokopy menej ako 1 tortu.

Teraz vieme, že jedna rodina má 2 deti, a teda nám zostáva \frac {1}{B}+\frac {1}{C}=\frac {1}{2}.

Čo ak medzi týmito dvomi nie je rodina s 3 deťmi? Potom je maximálna časť torty týhto dvoch upírčat \frac {1}{4}+\frac {1}{5}=\frac {9}{20}, čo je menej, než \frac {1}{2}, takže musí existovať aj rodina s 3​ deťmi.

Keď vieme, že existuje rodina s 2 aj s 3 deťmi, už je len jeden spôsob ako dopočítať tú tretiu:

\frac {1}{2}+\frac {1}{3}+\frac {1}{C}=1 z toho \frac {3}{6}+\frac {2}{6}+\frac {1}{C}=\frac {6}{6}, teda  C=6

Odpoveď: je iba jediné riešenie, a to že máme 2,3  a 6 detí.