2. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Na náčrte je vidno pohľad spredu na uložené kufre, kde sa javia ako farebné obdĺžniky usporiadané do štvorca. Každý kufor je vyznačený inou farbou. Všetky kufre na náčrte majú rovnakú plochu. Vieme, že kratšia dĺžka zeleného kufra je 3.
Zistite dĺžku kratšej strany červeného kufra, ktorú vidíte na obrázku.
Poznámka: Obrázok v zadaní je len ilustračný, odmeraním jeho dĺžok nedostanete presnú odpoveď, ani body za úlohu.Vzorové riešenie
Plocha kufra sa dá reprezentovať obsahom obdĺžnika, ktorý vieme vypočítať ako S=a\cdot b, kde a,b sú strany obdĺžnika.
Označme si niektoré dôležité strany jednotlivých kufrov ako na obrázku:
Môžeme si všimnúť, že dĺžky žltého a fialového kufra sú rovnako dlhé, čiže aj ich šírky musia byť rovnako dlhé, aby mali tieto kufre rovnaký obsah. x_1 a x_2 sú teda rovnako dlhé (ďalej ich budem označovať ako x). Dĺžka červeného obdĺžnika je tým pádom 2x.
Vieme, že všetky kufre majú rovnaký obsah. Musí teda platiť, že x\cdot y=2x\cdot y_1, z čoho si vieme vyjadriť y_1=0,5y.
Pozrime sa teraz na zelený kufor, ktorý má dĺžky strán 3 a y+0,5y, čo je 3 a 1,5y. Obsah zeleného kufra musí byť 3\cdot1,5y=4,5y. Nakoľko obsahy všetkých obdĺžnikov majú rovnakú hodnotu, tak aj obsah žltého (respektíve fialového, či červeného), ktorý je x\cdot y, musí byť rovnaký ako obsah zeleného kufra, ktorý je 4,5y. Z toho vyplýva, že x\cdot y=4,5y a po úprave dostávame x=4,5.
Dĺžka strany štvorca a teda aj dĺžky modrého kufra musí byť 2x+3=2\cdot 4,5+3=12.
Obsah modrého obdĺžnika musí byť rovnaký ako obsah zvyšných obdĺžnikov (s obsahom 4,5y) a teda šírka modrého obdĺžnika musí byť 4,5y\div 12=0,375y. Všimnime si, že súčet šírky modrého obdĺžnika a dĺžky zeleného obdĺžnika je strana štvorca, čo je 0,375y+1,5y=1,875y. O štvorci platí, že má všetky strany rovnako dlhé, takže musí platiť 1,875y=12 a po úprave dostávame y=12÷1,875=6,4.
Šírka strany červeného obdĺžnika (y_1) je 0,5y a nakoľko y=6,4, tak 0,5y=6,4÷2=3,2.
Podarilo sa nám ukázať, že ak hľadaný úsek bude mať dáku dĺžku, tak tá dĺžka bude 3,2. Na to aby bolo riešenie úplne správne, tak je ešte treba overiť, či existujú dĺžky strán obdĺžničkov na obrázku, tak aby boli splnené všetky podmienky zo zadania. Dĺžky strán ktoré to spĺňajú môžete nájsť na obrázku.
Odpoveď: Hľadaná strana má dĺžku 3,2.