10. príklad - Vzorové riešenie
Kategórie:
5
6
7
8
9
Zadanie
Nájdite všetky celé čísla n>2 také, že existuje deliteľ čísla n, označený d, spĺňajúci n = a^3 + d^3, kde a je najmenší deliteľ n väčší ako 1.
Vzorové riešenie
Opravovali: JakubK, ŠimonKomara
Ak by bolo n nepárne, potom má iba nepárnych deliteľov, teda dostaneme, že a a d sú nepárne, teda aj a^3a d^3 musia byť nepárne. Avšak potom n = a^3 + d^3 je párne, čo je spor.
To znamená, že n je párne, ale potom jeho najmenší deliteľ väčší ako 1 je 2. Teda dostávame rovnosť:
n = 8 + d^3
Keďže d delí n a d delí d^3, tak d musí deliť aj 8, čo znamená, že d musí byť 1,2,4 alebo 8. Ak je d = 1, tak n = 9, čo nevyhovuje. Pre zvyšné hodnoty d dostaneme n rovné 16, 72 a 520, čo všetko vyhovuje, keďže v každom prípade d delí n a 2 je najmenší deliteľ n väčší ako 1.
Odpoveď: Vyhovujúce n sú 16, 72 a 520.