1. príklad - Vzorové riešenie

Na začiatku bolo dobré skúsiť príklad preformulovať pomocou rovníc a nerovníc. Označme si strany trojuholníka a,b,c. Potom vieme, že obvod trojuholníka je 21. Inými slovami vieme, že a+b+c=21.

Ďalej jedna strana bude najdlhšia, iná stredná a posledná najkratšia (samozrejme sa môže stať, že dĺžky niektorých strán sa budú rovnať). Keďže nezáleží na orientácií trojuholníka, tak vieme predpokladať, že najdlhšia strana je a. Strednú si vieme označiť b a najkratšiu ako c. S toho dostávame sériu nerovností a \geq b \geq c.

Nasledujúcim dielikom bola poznámka pod čiarou. Dané tvrdenie sa nazýva trojuholníkovou nerovnosťou. Akonáhle máme trojuholník, tak súčet dĺžok dvoch kratších strán bude väčší ako najdlhšia strana (je to vidno skúste si nakresliť trojuholník so stranami 1,2 a 4). Dostávame teraz nerovnosť b+c \gt a.

Zo zadanie vieme, že dĺžka strany b delí dĺžku strany a. To znamená, že buď a=b, to vyšetríme neskôr. Alebo a=b\cdot d, pričom d je aspoň 2. Máme teda a \geq 2\cdot b.

V tomto momente to stačí poskladať. Ukážeme, že ak a\geq 2\cdot b. Tak taký trojuholník už neexistuje.

a \ge 2\cdot b\geq b+c\gt a​​

Dostali sme, že a \gt a, ale to žiadne číslo nesplňuje. Takže neplatí, že a \geq 2\cdot b.

Ostáva nám overiť prípad, že a=b. Budeme postupne skúšať dosádzať hodnoty za c. Všimnime si, že stačí dosádzať nepárne hodnoty, lebo ak dosadíme hodnotu párnu, tak 21 mínus párne číslo je nepárne číslo a teda nevieme ho rozdeliť, tak aby a=b a obe boli celočíselné. Tak skúšajme nepárne hodnoty a postupne dostávame.