Adventný Logboj - Adventný Logboj je individuálna súťaž v riešení logických úloh, v ktorej môžu súťažiť základoškoláci, stredoškoláci aj starší. Na stránke súťaže bude každý decembrový deň až do vianoc sprístupnená jedna úloha, … Prejsť na článok
×4. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Krivoš uvidel 4 nádoby označené A, B, C a D, ktoré na sebe mali vyryté kladné celé čísla. Všimol si, že nádoby A a B nemajú rovnaké čísla. Ďalej si všimol, že pokiaľ vynásobí čísla na nádobách A a C, tak mu vyjde rovnaké číslo, ako keď ku číslu vyrytému na nádobe B pripočíta 2. Ešte si všimol, že pokiaľ vynásobí čísla vyryté na nádobách B a D, tak dostane rovnaké číslo, ako keď ku číslu na nádobe A pripočíta číslo 1. Zistite, aké všetky štvorice čísel mohli byť vyryté na nádobách.
Vzorové riešenie
Najprv si napíšme zadanie v tvare rovníc, nech kúsok lepšie vidíme, čo sa tam deje:
A\cdot C=B+2
B \cdot D=A+1
Ešte predtým ako sa pozrieme na tento príklad, tak sa pozrime na podobný vírazne jednoduchší príklad a to:
A\cdot C=B
B \cdot D=A
Uvedomme si, že C je aspoň 1, keďže všetko to sú prirodzené čísla, tak prvá rovnica nám dáva, že A\leq B. Podobne z druhej rovnice dostávame, že B \geq A, čo jednoducho vedie k tomu, že A=B a C=D=1.
S podobnou myšlienkou vieme pristúpiť k pôvodnej dvojici rovníc. Číslo C je aspoň 1, takže ak A\cdot C=B+2, tak A\leq B+2. Z druhej rovnice rovnako dostávame, že B\leq A+1. Keď odčítame 1, tak máme B-1\leq A. To si vieme napísať ako sériu nerovností:
B-1\leq A \leq B+2
Máme teda 4 možnosti, pričom jednu možnosť A=B nám priamo zakazuje zadanie.
Ostávajú nám 3 možnosti, ktoré postupne preveríme:
1. A=B-1, respektíve B=A+1
Dosaďme B=A+1, do prvej rovnice a dostávame:
A\cdot C=A+3
Prehoďme A na ľavú stranu a vyberme pred zátvorku:
A\cdot C-A=3
A\cdot( C-1)=3
Vidíme, že súčin dvoch prirodzených čísel je 3, avšak nie je moc prirodzených čísel, ktoré majú súčin 3, konkrétne 3=3\cdot 1. Máme teraz 2 možnosti:
Buďto A=3 a C-1=1. V tom prípade si ľahko priamim dosadením do pôvodných rovníc dorátame, že C=2, B=4 a D=1, alebo A=1 a C-1=3. V tom prípade dostávame, že C=4, B=2 a D=2.
2. A=B+1, respektíve B=A-1
Dosaďme B=A-1, do prvej rovnice a dostávame:
A\cdot C=A+1
Podobne ako v minulom prípade, jednoducho upravíme do tvaru :
A\cdot( C-1)=1
Aby súčin 2 prirodzených čísel bol 1, tak obe čísla potrebujú byť 1. Čím dostávame:
A=1 a C-1=1. Avšak ak A=1, tak B=A-1=1-1=0, čo však nie je prirodzené číslo a tento prípad nevedie k žiadnemu riešeniu.
3. Posledné čo nám ostáva je poriešiť prípad A=B+2. Všimnime si však, že keď tento víraz dosadíme do druhej rovnice, tak dostaneme:
B\cdot D=B+3, ide o rovnakú rovnosť ako v prvom prípade. Takže úplne rovnakým postupom dostávame:
Buďto B=3 a D-1=1. Potom D=2, A=5 a C=1, alebo B=1 a D-1=3. Priame dosadenie vedie k výsledkom D=4, A=3 a C=1.