Adventný Logboj - Adventný Logboj je individuálna súťaž v riešení logických úloh, v ktorej môžu súťažiť základoškoláci, stredoškoláci aj starší. Na stránke súťaže bude každý decembrový deň až do vianoc sprístupnená jedna úloha, … Prejsť na článok
×10. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Majme rovnobežník ABCD, označíme M stred strany BC a N stred strany CD. Bod X je priesečníkom AM a BD. Bod Y je taký, že AYBD je rovnobežník. Dokážte, že body N, X a Y ležia na jednej priamke.
Vzorové riešenie
V riešení budeme používať známy fakt, že ťažnice trojuholníka sa pretínajú v jednom bode. Ďalej si označíme E a F postupne stredy strán AC a AB.
Najprv ukážeme, že body C, X, F ležia na jednej priamke. Pozrime sa na trojuholník ABC, všimnime si, že AM je jedna z ťažníc. Ďalej si všimnime, že priamka BD je tiež ťažnica, keďže uhlopriečky rovnobežníka sa rozpoľujú. Ich priesečník X je teda ťažisko ABC. Preto priamka CX prechádza stredom AB, čo je bod F.
Keďže ABCD a AYBD sú rovnobežníky, tak BC \parallel AD \parallel BY. Keďže rovnobežky BC a BY zdieľajú bod B, tak sa jedná o jednu priamku. Ďalej zo spomínaných rovnobežníkov dostávame |BC| = |AD| = |BY|, teda bod B je stred úsečky YC.
Pozrime sa na trojuholník CYD. Všimnime si, že DB je jeho ťažnica. Všimnime si, že F je stred uhlopriečky AB v rovnobežníku ABDY a teda je aj stredom druhej uhlopriečky DY. Teda CY je taktiež ťažnica v CDY. Nakoniec si spomeňme, že C,X,F ležia na priamke a teda ťažisko CDY je AM \cap CF = X. Preto aj priamka YX prechádza stredom CD, čo je N.