9. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Veža má tvar pravouhlého trojuholníka ABC s pravým uhlom pri vrchole C. Na odvesne BC sú body D a E (v tomto poradí) také, že |\angle BDA| = 150^\circ, |\angle DAE| = 30^\circ a navyše |BD| = |EC| = 15 cm. Určte obsah trojuholníka ABC.

Vzorové riešenie

Opravovali: JakubLecak, MartinŠ, Viki

Pre začiatok je vždy dobré si obrázok nakresliť.

Všimnime si že niektoré uhly môžeme dorátať, keďže vieme, že priame uhly sú rovné 180\degree​a súčet uhlov v trojuholníku je taktiež 180\degree. Najprv si dopočítame |\angle ADE| ako doplnok k |\angle BDA|​, potom |\angle DEA| ako doplnok v trojuholníku DEA​. Nakoniec |\angle AEC| je doplnok ku |\angle DEA| a |\angle EAC| je doplnok v trojuholníku ECA​.

Teraz si všimnime, že trojuholník ADE má dva uhly s veľkosťou 30\degree. Takže je rovnoramenný so základňou AD a vieme povedať, že |AE|=|DE|.
Taktiež si vieme dokresliť výšku EF, ktorá bude rozdeľovať \angle DEA na polovice, 
čiže potom |\angle DEF|=|\angle FEA|=60\degree​

Teraz je jasné, že trojuholníky AEC, AFE a DEF sú zhodné, lebo sú podobné podľa vety uu  a zdieľajú príslušné strany v podobnosti.

Ako ďalší krok si môžeme dokresliť zhodný trojuholník ACE' ku ACE, tak aby spolu tvorili rovnostranný trojuholník.

Keďže |EC|=|E'C|=15\ cm  a trojuholník CEE'​  je rovnostranný, tak vieme povedať, že všetky jeho strany sú rovné 30\ cm. Táto dĺžka sa alternatívne dala dorátať aj s troškou goniometrie.

Trojuholník AEC  je pravouhlý, takže vieme dĺžku strany AC  dopočítať Pytagorovou vetou.

|AC|^2+|EC|^2=|AE|^2

|AC|=\sqrt{|AE|^2-|EC|^2}=\sqrt{30^2-15^2}=\sqrt{675}=15\sqrt{3}\ cm​​

Trojuholníky AEC a EFC sú zhodné, vďaka čomu vieme povedať, že |EA|=|ED|=30\ cm.

Teraz si vieme z častí vyskladať dĺžku strany BC, ktorá vyjde 60\ cm. Keďže trojuholník ABC je pravouhlý, tak obsah jednoducho dopočítame ako \frac{|BC||CA|}{2}=\frac{60\times15\sqrt{3}}{2}=450\sqrt{3}\ cm^2.

Tento posledný krok môžeme spraviť aj trochu inak. Stačí si všimnúť, že trojuholníky ABD  a ​AEC  majú rovnaký obsah, lebo majú rovnakú výšku AC a obe majú dĺžku strany kolmej na AC (BD a EC​) rovnú 15\ cm. Keďže ostatné sú zhodné s AEC, tak máme 4 trojuholníky s rovnakým obsahom, ktoré tvoria celý trojuholník ABC. Obsah potom ľahko dorátame ako:

4\times S_{AEC}=4\times\frac{|EC|\times|AC|}{2}=4\times\frac{15\times15\sqrt{3}}{2}=450\sqrt{3}\ cm^2​

Odpoveď: Obsah trojuholníka je 450\sqrt{3}\ cm^2​​