7. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Na creo Prutky napísal 7 rôznych reálnych čísel so súčtom 10. Potom Alicka zobrala každé číslo a vynásobila ho súčtom zvyšných čísel a toto nové číslo si zapísala na papier. Takto na papieri vzniklo 7 čísel, no iba 4 z nich boli rôzne.
Existuje veľa rôznych sedmíc, ktoré mohol Prutky napísať na creo, ale všetky tieto sedmice zdieľajú jedno číslo. Nájdite ho a zdôvodnite, prečo bez neho nevieme splniť podmienky.
Vzorové riešenie
Pre začiatok je vždy dobré zapísať si čo vieme.
Vieme, že súčet všetkých siedmich reálnych čísiel je 10. Označme si ich a, b, c, d, e, f, g
a+b+c+d+e+f+g=10
V zadaní máme tiež, že každé číslo prenásobíme súčtom ostatných. Môžeme si všimnúť
že keďže všetky čísla dávajú dokopy súčet 10, tak všetky čísla bez čísla x dostaneme 10 mínus číslo x.
Takže prenásobené čísla budú:
a(10-a),\:\: b(10-b),\:\: c(10-c),\:\: d(10-d),\:\: e(10-e),\:\: f(10-f),\:\: g(10-g)
Vieme ale, že len 4 z týchto čísiel sú rôzne, teda niektoré si budú navzájom rovné.
Kedže zatial vieme o všetkých číslach rovnaké vlastnosti, môžeme si povedať že rovnaké budú práve a(10-a) a b(10-b)
a(10-a)=b(10-b)\\10a-a^2=10b-b^2\:\:\:\:\: /+a^2-10b\\10(a-b)=a^2-b^2\\10(a-b)=(a-b)(a+b)\:\:\:\:\: /:(a-b)\\10=a+b
Predeliť a-b sme mohli lebo vieme, že každé z pôvodných čísiel je rôzne.
Teraz zistime, čo by sa stalo, ak by sa nejaké tretie číslo rovnalo jednémuu z nich? Napríklad b(10-b)=c(10-c)
Potom podobným postupom dostaneme, že 10=b+c
Ale ak 10=a+b=b+c tak by platilo a=c , čo je v rozpore so zadaním.
Vieme teda, že vždy maximálne 2 výsledné čísla majú rovnakú hodnotu.
To znamená, že ak medzi výslednými číslami majú byť len 4 rôzne čísla, tak musíme mať 3 dvojice čísiel s rovnakou hodnotou. Teda bez ujmy na všeobecnosti:
a+b=10, \:\: c+d=10, \:\: e+f=10
Dosadením do pôvodnej rovnice dostávame:
a+b+c+d+e+f+g=10 \\ 10+10+10+g=10\:\:\:\: /-30\\g=-20
Takže posledné číslo musí byť -20
Odpoveď:
Nezaobídeme sa bez čísla -20