6. príklad - Vzorové riešenie

​Vo výsledku máme dostať nepárnu cifru. Ako také niečo docieliť?

Sčítaním párnej a párnej cifry dostanem párnu cifru, sčítaním nepárnej a nepárnej cifry dostanem tiež párnu cifru. Sčitovať teda musím párnu s nepárnou, alebo nepárnu s párnou. Hovorí sa tomu aj čísla s opačnou paritou*.

párna +​ párna =​ párna

nepárna +​ nepárna =​ párna

párna +​ nepárna =​ nepárna

nepárna +​ párna =​ nepárna

Zároveň si však musíme dať pozor, lebo pri sčítavaní dvoch cifier vie byť výsledok niekedy väčší ako 9​. Vtedy sa 1 prenesie do ďalšieho súčtu, čím sa zmení jeho parita.

(Ako malé cvičenie sa môžete v tomto bode zamyslieť, či by sa mohlo do ďalšieho súčtu preniesť aj viac ako 1​)

Začnime možnosťou b) - hľadanie 6​-ciferného špeciálneho čísla.

Označme si ho ABCDEF, kde každé písmenko značí jednu cifru. Na začiatok môžeme skúsiť uvažovať bez prechodu cez desiatku**, takže čísla  F, E, D​ budú mať len opačnú paritu ako čísla A, B, C​. Takýchto čísel je veľa, napríklad: 111222+222111 = 333333​, ale aj 121212+212121=333333​. Takže 6​-ciferné špeciálne číslo existuje.

Poďme teraz na možnosť c) - hľadanie 7​-ciferného špeciálneho čísla.

Opäť si ho označíme pomocou písmeniek, tentokrát ABCDEFG​. Sčítanie teda bude vyzerať takto:

\begin{array}{ccccc} & A & B & C & D & E & F & G \\ +& G & F & E & D & C & B & A\\ \hline \end{array}​

Vidíme, že v strede sa nám sčítava D+D​. Keďže to sú rovnaké čísla, majú rovnakú paritu a ich súčtom dostaneme určite párnu cifru. To znamená, že ak by sme chceli, aby bolo číslo špeciálne, musela by nám jedna zostať z predošlého súčtu E+C​.

Takže (E+C) \gt 10​.

Keď sa ale pozrieme na nasledovné súčty, tak to znamená, že aj (C+E) \gt 10​, takže jedna sa nám prenesie do súčtu B+F​. Tento súčet teda musí byť párny, aby bol nepárny až potom, ako k nemu pripočítame 1​, čo nám zostala.

Ak B+F​ je párne, potom je párne aj F+B​, a teda nám musí jedna zostať zo súčtu G+A​.

Poďme teda podľa tohto návodu skúsiť nájsť číslo ABCDEFG​.

• ​D​ môže byť čokoľvek, povedzme 0​.

• ​E+C​ musí byť väčšie ako 10​, povedzme 8+9​.

• ​B+F​ musí byť párne, povedzme 1+1​.

• ​G+A​ musí byť nepárne a väčšie ako 10​. Povedzme 8+9​.

Takto sme našli príklad 7​-ciferného špeciálneho čísla (9190818​), takže môžeme konštatovať, že takéto číslo existuje.

Teraz skúsme rovnako uvažovať pri možnosti a) - hľadanie 5​-ciferného špeciálneho čísla.

Označíme si ho ABCDE​ a sčítanie bude vyzerať takto:

\begin{array}{ccccc} & A & B & C & D & E \\ +& E & D & C & B & A\\ \hline \end{array}​

Opäť vidíme, že uprostred sčítavame rovnaké písmenká C+C​, takže tento výsledok bude párny. To znamená, že nám musí jedna zostať z predošlého súčtu D+B​.

V takom prípade bude aj súčet B+D​ väčší ako 10​ a jedna sa pripočíta k A+E​. Aby A+E​ bolo aj po tomto pripočítaní nepárne, znamená to, že pôvodne je párne. Z toho vyplýva, že aj E+A na mieste jednotiek bude párne. A keďže tu neviem pridať žiadnu jednotku z predošlého súčtu, to znamená, že táto cifra nevie byť nepárna. Takže 5​-ciferné špeciálne číslo neexistuje.

*parita je vlastnosť čísla, hovorí o tom, či je číslo párne alebo nepárne

**s prechodom cez desiatku to pre 6-ciferné číslo nepôjde, to pre naše riešenie nepotrebujeme dokazovať ale môžte sa zamyslieť prečo to nepôjde ;)