3. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Vo fontáne je po obvode rovnomerne umiestnených 14 vodotryskov. Vyplňte modré políčka označujúce vodotrysky vo fontáne číslami od 1 po 14 tak, aby na každej strane bol súčet čísel rovnako veľký. Každé číslo môžete použiť iba raz. Takýchto vyplnení existuje viacero. Nájdite ľubovoľné vyplnenie, v ktorom je súčet čísel napísaných na strane najväčší možný a ukážte, že väčší súčet sa dosiahnuť nedá.
Vzorové riešenie
Pozrime sa na to, čo dostaneme, keď sčítame súčet na všetkých stranách obdĺžnika (súčet na hornej strane + súčet na dolnej + súčet na pravej + súčet na ľavej). Takto každé číslo započítame raz okrem rohových, ktoré započítame dvakrát (do obidvoch strán, kam patrí).
Dokopy teda súčet strán = každé číslo započítané raz + všetky rohové políčka ešte raz.
Súčet všetkých čísel je vždy rovnaký a nemení sa (1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + 8 + 9 + 10 + 11 + 12 + 13 + 14 = 105). Preto sa musíme snažiť mať čo najväčšie čísla v rohoch. Potom bude súčet na všetkých stranách najväčší.
Skúsme teda dať do rohov štyri najväčšie čísla - 14, 13, 12 a 11. Potom by bol súčet na všetkých štyroch stranách 1 + 2 + 3+4+5+6+7+8+9+10+2 \cdot 11 + 2 \cdot 12 + 2 \cdot 13 + 2 \cdot 14 = 155. Toto číslo ale má byť súčet štyroch rovnakých čísel (súčtov na štyroch stranách) a teda sa musí dať vydeliť štyrmi bezo zvyšku. Keď to ale skúsime, zistíme, že sa to nedá. Tak musíme nájsť nejaké menšie číslo, ktoré sa bude dať deliť štyrmi (snažíme sa čo najväčšie).
Najväčšie také číslo je 152. Znamenalo by to, že súčet na jednej strane je štvrtina z toho (152:4 = 38). Súčet čísel v rohoch by bol 152 - 105 = 47. Skúsme to tak urobiť.
Do rohov musíme dať čísla so súčtom 47, tak nejaké vyberme. My sme vybrali 8, 12, 13 a 14, ale nie je to jediná možnosť. Dajme si ich teda do rohu a skúsme doplniť zvyšné čísla tak, aby súčet na každej strane bol 38. Možností je veľa, my sme našli nasledujúcu:
Odpoveď: Najväčší súčet je 38. Jedno možné rozmiestenie je na obrázku vyššie.