8. príklad - Vzorové riešenie

Najprv si označme magické číslo ako g​. Skúsime si rozmyslieť, čo to znamená, že na začiatok čísla pripíšeme nejaké cifry. No znamená to, že k číslu pripočítame n \cdot 10^m, pričom m​ je počet cifier g​. Teda celé nové číslo sa bude rovnať n\cdot10^m + g.

No a my chceme, aby tento výraz bol deliteľný g​. A na to musí byť teda n\cdot10^m​ deliteľné g​. Toto však musí platiť pre každé n​. Teda aj pre n=1. No ale ak platí, že 1\cdot10^m​ je deliteľné g​, tak platí to čo sme chceli, a teda že n\cdot10^m​ je deliteľné g​. Teda pre každé magické číslo g​ musí platiť, že musí deliť 1\cdot10^m, pričom teda m​ je počet cifier g​. 

Ponúka sa povedať, že magické čísla sú také, ktoré jednoducho delia nejaké 1\cdot10^m. Musíme si však dať pozor, lebo napríklad 625 delí 10000, ale pre 625 je m=3, a 625 nedelí 1000. 

Ako teda správne nájdeme všetky magické čísla? Tak pozrime sa na prvočíselný rozklad 10^m. Je to 2^m\cdot5^m. Ako dostaneme nejakého deliteľa? No tak, že vyškrtneme odtiaľ niekoľko výskytov prvočísel. Všimnime si však jednu veľmi dôležitú vlastnosť. Ak by sme vyškrtli prvočísla so súčinom viac ako 10, tak by výsledné číslo malo menej ako m​ cifier. Teda to sa stať nemôže. Teda stačí nám nájsť všetky kombinácie 2,5 ktoré môžeme vyškrtnúť, aby sme v ich súčine dostali menej ako 10.

Škrtáme 2 \rightarrow 2 = 2. Dostávame 5 \cdot 10^{m-1} je magické číslo.

Škrtáme 5 \rightarrow 5 = 5. Dostávame 2 \cdot 10^{m-1} je magické číslo.

Škrtáme 2,2 \rightarrow 2\cdot 2 = 4. Dostávame 5^2 \cdot 10^{m-2} je magické číslo.

Škrtáme 2,5 \rightarrow 2\cdot 5 = 10. Dostávame 10^{m-1} je magické číslo.

Škrtáme 2,2,2\rightarrow 2\cdot 2\cdot 2 = 8. Dostávame 5^3\cdot 10^{m-3} je magické číslo.

Viac kombinácii spraviť nejde. Teda sme našli všetky magické čísla (v týchto vzorcoch je m dĺžka cifier magického čísla, ktorého chceme).