Riešky výlet - Ahojte Rieškari, jar je v plnom prúde, vonku je pekne a my sa chystáme na výlet! Zoberte batohy, hry, frisbee, kamarátov a hlavne dobrú náladu a poďte sa s nami … Prejsť na článok
×7. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Poklop má tvar mriežky 2025 \times 2025, pričom v každom štvorčeku sa nachádza buď 1, alebo -1. Anička si na papier zapísala súčin všetkých čísel v prvom riadku, potom súčin všetkých čísel v druhom riadku, a tak ďalej až napokon si zapísala súčin všetkých čísel v 2025. riadku, teda si celkovo zapísala 2025 čísel. Toto isté spravila aj pre každý stĺpec. Mohlo sa Aničke stať, že súčet všetkých čísel, ktoré si zapísala, bol 0?
Vzorové riešenie
Najprv sa pozrime aké hodnoty môže súčin v riadku alebo stĺpci nadobúdať. Keďže násobíme vždy 1, ktoré pri násobení nespravia nič, alebo -1, ktoré len zmenia znamienko, tak jediné možné súčiny v riadku a stĺpci sú 1, -1.
Teraz sa skúsme pozrieť na to, čo by sa stalo, kebyže v niektorom políčku zmeníme 1 na -1, alebo naopak. Keďže tým len zmeníme znamienko, tak celkový súčin v tom riadku a stĺpci sa tiež zmení len v znamienku, teda z 1 na -1, alebo naopak.
Ale čo to znamená pre celkový súčet tých súčinov? Ak sa zmenil súčin z -1 na 1, tak celkovo sa súčet zvýši o 2. Naopak, ak by sa zmenil z 1 na -1, tak by sa súčet znížil o 2.
Teraz si ale uvedomme že jednou takouto zmenou čísla, sa zmenia 2 súčiny, jeden v riadku a jeden v stĺpci. Teda môžu nastať nasledovné 3 situácie: Buď sa oboje zmenia z 1 na -1, čím sa zníži celkový súčet o 2+2=4, zmenia sa oboje z -1 na 1, čím sa zvýši celkový súčet o 2+2=4, alebo sa jedno zmení z -1 na 1 a druhé naopak, čím sa celkový súčet zmení o 2+(-2)=0.
Všimnime si ale, že pri každej z týchto možností sa zmení súčet o násobok 4, teda pokiaľ sa máme jednu situáciu, kde má celkový súčet nejaký konkrétny zvyšok po delení 4, tak aj v každej inej možnosti bude mať celkový súčet rovnaký zvyšok po delení 4.
A aký to teda bude zvyšok? Všimnime si, že sa do ľubovoľnej inej pozície vieme dostať z tabuľky plnej 1 tým, že niektoré pomeníme za -1. A súčin v každom riadku/stĺpci je zjavne 1. Teda celkový súčet je 2\cdot2025=4050, ktoré má zvyšok po delení štyrmi 2 (4050\div4=1012 \: zv. \: 2, \: 4\cdot1012+2=4050)
0 ale nemá zvyšok 2 po delení 4 a teda nie je možné aby sme dosiahli súčet 0.
Odpoveď: Nie, Anička nemohla dostať súčet 0.