Riešky výlet - Ahojte Rieškari, jar je v plnom prúde, vonku je pekne a my sa chystáme na výlet! Zoberte batohy, hry, frisbee, kamarátov a hlavne dobrú náladu a poďte sa s nami … Prejsť na článok
×6. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Máme rovnobežník ABCD s obsahom S. Priesečník uhlopriečok rovnobežníka označme O. Bod M leží na strane DC. Priesečník AM a BD označme E a priesečník BM a AC označme F. Súčet obsahov trojuholníkov AED a BFC je \frac{S}{3}. Zapíšte obsah štvoruholníka EOFM pomocou obsahu rovnobežníka ABCD.
Vzorové riešenie
V rovnobežníku platí, že má strany oproti sebe rovnako dlhé, čiže v našom prípade AB=CD a AD=BC. Obsah trojuholníka vypočítame ako \frac{1}{2} \cdot základňa\cdot výška_z a obsah rovnobežníka ako základňa\cdot výška_z. Výšku rovnobežníka ABCD na stranu AB (respektíve stranu CD) si označím ako v, stranu AB si označím ako a, takže S=av.
Zo zadania vieme, že S△AED + S△BFC = \frac{1}{3} S. Načrtnime si obrázok podľa podmienok zo zadania.
Poďme si vyjadriť obsahy niektorých častí rovnobežníka, ktoré nám potom pomôžu na vyjadrenie obsahu štvoruholníka EOFM.
Obsah △ABM je \frac{1}{2} \ cdot |AB| \cdot v=\frac{1}{2}av=\frac{1}{2}S. Taktiež vieme, že:
S△ADM+S△BCM=SABCD-S△ABM=S-\frac{1}{2}S=\frac{1}{2}S
S△DEM+S△MFC=(S△ADM+S△BCM)-(S△AED+S△BFC)=\frac{1}{2}S-\frac{1}{3}S=\frac{1}{6}S
O uhlopriečkach v rovnobežníku platí, že sa rozdeľujú na polovicu, takže DO=OB a AO=OC. Zároveň platí ∡DOC=∡BOA, pretože sú vrcholové uhly. Z tohto vieme, že △AOB je zhodný s △COD podľa vety sus (DO=OB, AO=OC, ∡DOC=∡BOA) a nakoľko sú zhodné, tak musia mať aj zhodné výšky. Keďže výšky △AOB aj △COD prechádzajú cez O a sú zhodné, tak výška △COD musí byť \frac{1}{2} výšky rovnobežníka ABCD. Z toho vyplýva, žeS△COD=\frac{1}{2} \cdot (a \cdot \frac{1}{2}v)=\frac{1}{4}av=\frac{1}{4}S.
Obsah štvoruholníka EOFM si vieme vyjadriť ako S△COD-(S△DEM+S△MFC) a to je po dosadení vypočítaných obsahov \frac{1}{4}S-\frac{1}{6}S=\frac{1}{12}S.
Odpoveď: Obsah štvoruholníka EOFM je \frac{1}{12} obsahu rovnobežníka ABCD.