Riešky výlet - Ahojte Rieškari, jar je v plnom prúde, vonku je pekne a my sa chystáme na výlet! Zoberte batohy, hry, frisbee, kamarátov a hlavne dobrú náladu a poďte sa s nami … Prejsť na článok
×10. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
V rovnobežníku ABCD leží bod P tak, že platí |PC| = |BC|. Dokážte, že priamka BP je kolmá na priamku, ktorá spája stredy úsečiek AP a CD.
Vzorové riešenie
Nakreslíme si obrázok, pričom M, N sú postupne stredy strán CD a AP.
Chceme dokázať, že MN \perp BP, avšak v obrázku nemáme žiadne pravé uhly. Za to však máme veľa rovnobežností a stredov strán, takže rovnobežnosť by sa nám dokazovala ľahšie. Takže môžeme skúsiť dokresliť nejakú kolmicu na BP a dokázať, že táto kolmica je rovnobežná s MN, z čoho by potom zo striedavých uhlov platilo, že MN \perp BP. Najlákavejšia kolmica na BP vyzerá byť výška v trojuholníku BPC, označíme si jej pätu E. Takže chceme dokázať, že CE \parallel MN.
Keďže trojuholník BPC je rovnoramenný so základňou BP, tak päta výšky E musí byť stredom strany BP. Pozrime sa na trojuholník ABP, N je stred AP a E je stred BP, teda NE je jeho strednou priečkou. Takže dostávame |NE| = \frac{|AB|}{2} a NE \parallel AB.
Keďže ABCD je rovnobežník, tak |AB| = |CD| a AB \parallel CD. To znamená, že |NE| = \frac{|CD|}{2} = |MC| a NE \parallel CD. To je však dostatočná podmienka na to, aby NECM bol rovnobežník. Z toho dostávame MN \parallel CE, čo sme chceli ukázať.