Riešky výlet - Ahojte Rieškari, jar je v plnom prúde, vonku je pekne a my sa chystáme na výlet! Zoberte batohy, hry, frisbee, kamarátov a hlavne dobrú náladu a poďte sa s nami … Prejsť na článok
×1. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Na papieri sa nachádzal príklad s klasickým násobením pod seba. Násobenie pod seba funguje tak, že násobíme horné číslo postupne ciframi toho spodného, pričom vždy keď sa posúvame na ďalšiu cifru spodného čísla, výsledok zapisujeme o jednu pozíciu viac doľava. Následne tieto medzivýpočty sčítame. Napríklad:
\begin{aligned} 12 \\ \times 34 \\ \hline 48 \\ 36 \ \ \\ \hline 408 \end{aligned}
Lenže na príklade, ktorý bol na papieri boli nečitateľné všetky cifry okrem dvoch. Príklad vyzeral takto:
\begin{aligned} ?? \\ \times ?? \\ \hline ?0? \\ 5? \ \ \\ \hline ???? \end{aligned}
Aké mohli byť čísla, ktoré násobíme? Nájdite všetky možnosti a nezabudnite vysvetliť, prečo iné možnosti už nie sú. Nezabudnite pri tom na to, že žiadne číslo sa nezačína nulou.
Vzorové riešenie
Na začiatok si kvôli jednoduchosti pomenujme jednotlivé cifry schovávajúce sa za otáznikmi.
Cifry násobených čísel si pomenujme postupne A, B, C, D a otázniky v medzivýpočte označíme postupne X, Y, Z, takže príklad bude mať nasledovnú podobu:
\begin{aligned} AB \\ \cdot CD \\ \text{---}\text{---}\\ X0Y \\ 5Z \; \; \; \\ \text{---}\text{---} \\ ???? \end{aligned}
Teraz sa pozrime na medzisúčet. Vídíme, že celý výsledok násobenia je štvorciferné číslo. Na to aby sme z medzisúčtu dvoch trojciferných čísel dostali štvorciferné, musí na mieste stoviek dôjsť k prechodu cez desiatky. To znamená že cifra ktorú predstavuje písmeno X musí byť aspoň 5.
Vieme, že súčin A\cdot D je dvojciferný a zároveň X ktoré tiež vzniklo z tohto súčinu je aspoň 5, takže by sme mohli predpokladať, že výsledok tohto súčinu bude aspoň 50. Keďže ale aj súčin B\cdot D môže byť dvojciferný, tak X0 sme mohli dostať ako súčet (A\cdot D) +prechod cez desiatky pri súčine B\cdot D. To znamená, že súčin A\cdot D bude najmenej 42 (lebo prechod cez desiatky po násobení dvoch jednociferných čísel môže byť najviac 8 a to vtedy, keď násobíme 9\cdot 9.
Teraz poďme zistiť cifru A a to pomocou možných súčinov väčších ako 42:
- ak je A menej ako 5, vieme dostať najväčší súčin 4\cdot 9=36, takže A aj D musia byť aspoň 5
- ak A=5, vieme takýto súčin dosiahnuť len jedným spôsobom a to 5\cdot 9=45
- ak A=6, vieme takýto súčin dostať pomocou: 6\cdot 7=42; 6 \cdot 8=48; 6 \cdot 9=54
- ak A=7, máme možnosti: 7×6=42; 7\cdot 8=56; 7\cdot 9=63
- ak A=8, máme možnosti: 8\cdot 6=48; 8\cdot 7=56; 8\cdot 8=64; 8\cdot 9=72
- ak A=9, máme možnosti: 9\cdot 5=45; 9\cdot 6=54; 9\cdot 7=63; 9\cdot 8=72; 9\cdot 9=81
To vyzerá ako veľa možností, avšak my z druhého sčítanca v medzisúčte vieme že C\cdot A=5 (alebo menej, ak došlo k prechodu cez desiatky pri násobení C\cdot B) Takže ak by bolo A väčšie ako 5, nemohla by platiť táto rovnosť.
Zistili sme teda, že A=5 a D=9, zároveň ak chceme aby platilo C\cdot A=5, tak musí C=1.
Poďme si teda dosadiť cifry, ktoré už poznáme:
\begin{aligned} 5B \\ \cdot 19 \\ \text{---}\text{---}\\ 50Y \\ 5Z \; \; \\ \text{---}\text{---} \\ ???? \end{aligned}
Vieme že v 9\cdot B musí dôjsť k prechodu cez desiatky a že na mieste desiatok bude 5 (aby sme po sčítaní [D\cdot A]+5 dostali 50). Existuje jediné také B, ktoré toto spĺňa a to je 6 (keďže 9\cdot 6=54). Poďme si teda dosadiť všetky cifry ktoré poznáme a dopočítať výsledok:
\begin{aligned} 56 \\ \cdot 19 \\ \text{---}\text{---}\\ 504 \\ 56 \; \; \\ \text{---}\text{---} \\ 1064 \end{aligned}
Tento príklad má teda jediné riešenie.