8. príklad - Vzorové riešenie

Najprv si dokážme jedno pomocné tvrdenie.

Prvé pomocné tvrdenie: žiadny zo sčítancov v príklade nie je nula. Toto vieme ľahko dokázať tak, že vieme, že všetky premenné (čísla a,b,c,d,e​) sú aspoň jedna. Potom keď sa pozrieme na najmenší člen, tak vo výraze \frac{e+d}{3} je aj d​, aj e​, aspoň jedna, a keďže d​ musí byť od e​ ostro väčšie, celý výraz bude mať hodnotu aspoň \frac{1+2}{3} = 1.

Druhé pomocné tvrdenie: nemôžeme mať viac ako dva rovnaké sčítance. Prečo? Pozrime sa na čitatele tri po sebe idúcich výrazov, a najmenšie možné čísla, aké v nich môžu byť:
x+(x+1)=2x+1
(x+1)+(x+2) = 2x +3
(x+2)+(x+3)= 2x+5
Vidíme, že prvý člen bude v čitateli aspoň o 4​ väčší ako tretí, a teda nemôžu mať po vydelení troma a zaokrúhlení na najbližšie celé číslo rovnakú hodnotu.

Dobre, tak sa vrhnime na rovnicu. Vidíme, že sčítavame druhé mocniny celých čísel. Tých nie je veľa, najmä čo sa týka takých, ktoré sú menšie ako 38​. Je ich len 6: 1, 4,9,16,25,36​. 36​ Dokonca môžeme hneď vylúčiť, pretože 38 - 36 = 2​, a ako vieme, zvyšný súčet 2 musíme dostať pomocou troch nenulových celých sčítancov, čo nie je možné. Teda náš zoznam možných sčítancov vyzerá asi takto: 1,4,9,16,25.​​

Môžeme si všimnúť, že sčítať musíme aspoň jednu 16​ alebo 25​, pretože 4\cdot9 = 36​, čo je stále menšie ako  38​. Zároveň nemôžeme mať ako sčítanec obe, pretože 16+25 = 41​, čo je viac ako 38​. 

Môžeme mať v súčte dve 16​? Poďme sa na to pozrieť. Máme teda sčítance 16+16=32​, a teda ostáva nám pomocou dvoch zvyšných čitateľov dostať súčet 6​. Rýchlo však zistíme, že keďže z čísel menších ako 6​ máme v zozname povolených sčítancov iba 4​ a 1​, tak to nie je možné. Musíme totiž sčítať práve dve čísla. Teda sme dokázali, že číslo 16​ sa ako sčítanec dvakrát nevyskytne.

Dobre, teda vieme, že budeme mať práve jedno z čísel 16​ a 25​ ako sčítanec. Čo keby sme teda mali 25​? Musíme teda sčítať súčet 38-25=13​ pomocou troch sčítancov. Možnosti máme iba 1,4,9​. Jedna deviatka v tomto súčte byť musí, lebo 3\cdot4=12​ čo nestačí. Teda 13-9=4​. Máme vyskladať súčet 4​ pomcou práve dvoch sčítancov, ktorú sú buď 1​ alebo 4​, čo opäť nejde. Teda 25  nemôže byť ako sčítanec.

Jeden a ten najväčší sčítanec teda určite bude číslo 16​. Musíme teda doplniť zvyšných 38-16=22​ pomocou troch sčítancov. Vieme si všimnúť, že musíme použiť aspoň dve deviatky, pretože 9+4+4 = 17​, čo je príliš málo. Teda máme ďalšie sčítance dve deviatky, a zvyšný sčítanec bude nakoniec 22 - 2\cdot9 = 4​, čo nám pekne vychádza. 

Jednotlivé sčítance budú teda: 16,9,9,4​. Hodnoty jednotlivých výrazov teda budú: 4,3,3,2​. Vieme si tak zostaviť rovnice:

a)6\leq e+d \leq 8​​
b)9\leq d+c \leq11​​
c)9\leq c+b \leq 11​​
d)12\leq b+a\leq 14​​
e) (zo zadania) a \gt b \gt c \gt d \gt e \gt 0​​

Poďme sa teraz pozerať na jednotlivé možnosti toho, akú hodnotu môže nadobúdať e​:

e=1​:
Potom z a) musí d​ byť aspoň 5​. Potom však z b) a e)c = 6​. Potom teda z e) je b​ aspoň 7​, čo však porušuje c), pretože by platilo, že c+b \geq 13​. Teda e​ nemôže byť 1​.

e = 2​:
Potom z a) musí byť d​ aspoň 4​. Z b) musí byť c​ aspoň 5​, a teda b​ aspoň 6​. Všimnime si, že keby bolo d  väčšie ako 4​, už by sa porušila podmienka c). Teda c​ môže byť najviac 5​ a b​ najviac 6​. Potom však a​ musí byť aspoň 7​. Môže byť však aj 8​.

e = 3​:
Potom z e) musí byť d) aspoň 4​. Z b) musí byť c​ aspoň 5​, a teda b​ aspoň 6​. Opäť si všimnime, že keby bolo d​ väčšie ako 4​, už by sa porušila podmienka c). Potom opäť a​ musí byť aspoň 7​, a zasa môže byť však aj 8​.

e \geq 4​:
Potom z e) musí byť d​ aspoň 5​, čo už ale poruší a). Teda nie je možné.

Vyšli nám teda 4​ riešenia pre a,b,c,d,e​:
​7,6,5,4,2
8,6,5,4,2
7,6,5,4,3
8,6,5,4,3​​​​