6. príklad - Vzorové riešenie

Súčet všetkých deliteľov čísla n​ si označíme ako d​. Medzi deliteľov n​ bude určite patriť 1​ a samotné n​. Označme si súčet ostatných deliteľov čísla n​ ako x​.

Prepíšme si informácie zo zadania do rovnice a upravme ju:

\frac{d}{n}=1,2 \\ \frac{d}{n}=\frac{6}{5}      / \cdot n \\ d=\frac{6n}{5}

Vieme, že n​, 6n​, všetky delitele n​ a tým pádom aj d​ sú prirodzené čísla. Preto musí byť \frac{6n}{5}​ prirodzené číslo a to vieme docieliť iba tak, keď bude 5​ deliteľom 6n​. Vidíme, že 6​ nie je deliteľné 5​ a teda na to, aby 5​ delilo 6n​ musí 5​ deliť n​. Keď je n​ deliteľné číslom 5​, tak určite musí byť jeden z deliteľov n​ aj číslo 5​ aj číslo \frac{n}{5}​. 

Prejdime si najprv možnosť, kde je n​ prvočíslo (nemá iných deliteľov ako 1​ a n​). Vyššie sme si dokázali, že n​ musí byť deliteľné 5​ a jediné prvočíslo, ktoré je deliteľné číslom 5​ je 5​. Overme, či vychádza možnosť n=5​:

n=5 \\ d=1+5=6 \\ \frac{d}{n}=\frac{6}{5} \\ \frac{6}{5}=\frac{6}{5}​

n=5​ je jediné prvočíselné riešenie príkladu.

Poďme zistiť, či existuje n​, ktoré nie je prvočíslo a pre ktoré platia podmienky zo zadania. Dosaďme do pôvodnej rovnice namiesto hodnoty d​, hodnotu x+1+n​ a upravme

\frac{d}{n}=\frac{6}{5} \\ \frac{x+1+n}{n}=\frac{6}{5} \\ \frac{x+1}{n}+1=\frac{6}{5}     /-1 \\ \frac{x+1}{n}=\frac{1}{5}    / \cdot n \\ x+1=\frac{n}{5}

Dostali sme sa do sporu, pretože x​ je súčtom deliteľov čísla n​, v ktorom sa určite nachádza číslo \frac{n}{5}​ (aj číslo 5​). Preto aj keby nemalo n​ žiadnych iných deliteľov, tak už určite bude iba samotné x \gt \frac{n}{5}​ a nie rovné. 

Odpoveď: Jediné číslo, ktoré spĺňa zadanie je 5​.