Riešky výlet - Ahojte Rieškari, jar je v plnom prúde, vonku je pekne a my sa chystáme na výlet! Zoberte batohy, hry, frisbee, kamarátov a hlavne dobrú náladu a poďte sa s nami … Prejsť na článok
×5. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Sieť má tvar trojuholníka. Dokážte, že bez ohľadu na to, aký presne tento trojuholník je, tak ho vieme rozdeliť na 22 trojuholníkov, z ktorých má každý aspoň jeden uhol rovný 22\degree, a ďalších 23 trojuholníkov, z ktorých každý má aspoň jeden uhol rovný 23\degree.
Vzorové riešenie
Nakoľko pracujeme s trojuholníkami a uhlami, bude sa nám hodiť známy fakt - v trojuholníku je súčet uhlov 180°.
Našim cieľom je vedieť rozdeliť akýkoľvek trojuholník na 45 trojuholníkov. Z toho 22 trojuholníkov má mať aspoň jeden uhol 22° a 23 trojuholníkov má mať aspoň jeden uhol 23°. Chceme teda nájsť systém, ktorým postupne docielime toto rozdelenie.
Mnohí z vás si všimli, že každý trojuholník sa dá rozdeliť na dva pravouhlé trojuholníky - pomocou výšky. Výška padá mimo trojuholníka iba v prípade, že ide o stranu ktorá je ramenom tupého uhla. Avšak v trojuholníku vie byť najviac jeden tupý uhol a preto v každom trojuholníku sú aspoň dva ostré uhly. Tým pádom tam je určite strana, ktorá je ramenom dvoch ostrých uhlov a jej výška sa teda bude nachádzať v danom trojuholníku. Rovnako to platí aj pri pravouhlom, teda nám nerobí problém ani fakt, že v pravouhlom sú dve výšky zhodné s dvoma stranami.
Pravý uhol sa dá rozdeliť na dva 22° uhly a dva 23° uhly, pretože 90 = 22 + 22 + 23 + 23. Tým pádom z jedného pravouhlého trojuholníka vieme dostať až dva 22° trojuholníky a dva 23° trojuholníky.
Našim cieľom preto bude rozdeliť ľubovoľný trojuholník na 11 pravouhlých trojuholníkov (z toho dostaneme 22 trojuholníkov s 22° a 22 trojuholníkov s 23°) a jeden s 23°.
Teraz je dôležité opísať aj postup, ako sa dostaneme ku finálnemu počtu zo zadania.
Trojuholník vieme rozdeliť na dva pravouhlé. Potom jeden z tých pravouhlých taktiež vieme rozdeliť na dva. To znamená, že sa nám pridá jeden pravouhlý trojuholník - mali sme dva, po rodzdelení máme tri. Alebo všeobecne - mali sme n, po rozdelení máme n+1. Takýchto rozdelení musíme spraviť postupne 10, čím dosiahneme 11 pravouhlých trojuholníkov.
Týmto dostávame všetko, čo potrebujeme, okrem toho posledného 23° trojuholníka.
Tu sa vrátime na začiatok, kedy začíname pracovať s našou sieťou. Z trojuholníka rovno odkrojíme menší trojuholník s jedným uhlom 23°. Toto určite môžeme urobiť, nakoľko aspoň jeden uhol bude určite vačší ako 23°. To sa dá dokázať tak, že 3\cdot23=69, čo je výrazne menej ako 180 a teda aspoň jeden z uhlov musí mať viac ako 23°. S trojuholníkom, ktorý nám ostal po odkrojení 23° trojuholníka potom pracujeme rovnako, ako sme to v riešení opisovali, keďže je to stále všeobecný trojuholník.