1. príklad - Vzorové riešenie

Pri úlohách, kde máme namiesto cifier písmenká, je užitočné, ak si najprv dosadíme pár ľubovoľných čísel a skúsime sa s týmto príkladom trošku pohrať. Napríklad, ak si úplne náhodne povieme, že:

A=4 \\ B=5 \\ C=7 \\ D=8 \\ E=9 \\ F=2 \\ G=3 \\

\begin{array}{ccccc} & 4 & 5 & 7 & 8 & 4 \\ & - & 9 & 2 & 3 & 2\\ \hline & & 2 & 5 & 3 & 9 \end{array}

Ak takýchto náhodných dosadení (tak sa tomu hovorí, keď zamieňam cifry za písmenká) vyskúšame viac, všimneme si jednu zaujímavú vec. Okrem toho, že nám výsledok nesedí číselne, nám nesedí ani počet cifier výsledku. Ak od päťciferného čísla odpočítavame štvorciferné, je pomerne náročné získať štvorciferný výsledok. To znamená, že chceme pravdepodobne skúšať odpočítavať veľké štvorciferné čísla od malých päťciferných. Dokonca musí byť toto päťciferné číslo menšie ako 20000. Pretože, aj kebyže si zoberieme najväčšie štvorciferné číslo 9999 a odpočítame ho od 20000, stále nebudeme mať štvorciferný výsledok:

\begin{array}{ccccc} & 2 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ & - & 9 & 9 & 9 & 9\\ \hline & 1 & 0 & 0 & 0 & 1 \end{array}

Z toho dostávame prvú dôležitú podmienku, a to, že A=1.

Poďme sa teraz zamerať na miesto jednotiek. Vidíme, že musí nutne platiť jedna z dvoch možností:

E+F=1 \\ E+F=11 \\

Ak by platila prvá možnosť, aspoň jedno z čísel E, F by muselo byť 1. To sa stať nemôže, keďže cifry A, E, F musia byť podľa zadania navzájom rôzne. Takže bude určite platiť: E+F=11.

Lenže ak sa pozrieme na miesto tisícok, dostávame tam opäť tie isté písmenká E, F, lenže ich sčítaním tentokrát potrebujeme získať cifru B. (Keďže sčítanie je opakom odčítania, ktoré máme v príklade.) Ako toto dosiahnuť tak, aby cifry A a B boli rôzne? Napadá vám niečo, čo by nám vedelo nejako pomôcť? Jasné, prechod cez desiatku! Z odčítania C-F=B nám musí jedna zostať a túto jednu potom pripočítame k cifre E. To znamená, že cifra B musí byť o 1 väčšia ako cifra A, a teda B=2.

Ešte potrebujeme, aby nám naozaj jedna zostala z toho predošlého odčítania. Takže musí platiť: 10+C=2+F. Z toho je očividné, že C musí byť naozaj malé a F musí byť naozaj veľké. Lenže C už nemôže byť ani 1 a ani 2, keďže C musí byť rôzne od A aj B. Ak by C bolo 3 a viac, F by už muselo byť väčšie ako 9. Z toho vyplýva, že C=0. A teda F môže byť buď 7 alebo 8, podľa toho, či nám jedna zostane z predošlého odčítavania. Ak pospomíname, o čom sa písalo kúsok vyššie, spomenieme si, že o cifrách E a F vieme, že ich súčet musí byť 11. Takže ak F môže byť len 7 alebo 8, potom E môže byť len 4 alebo 3.

Teraz sa pozrime na miesto desiatok. Vieme, že nám z predošlého odčítania jedna zostane, takže bude platiť jedna z dvoch možností, keďže nám pokojne môže aj jedna zostať:

G+G+1=D \\ G+G+1=10+D \\

Pozrime sa najprv na prípad, že by bola správna prvá rovnica G+G+1=D. Znamenalo by to, že potrebujeme malé G a veľké D. Keďže cifry 0, 1, 2 už sú obsadené inými písmenkami a cifra 5 je pre G priveľká, dostávame pre G a D práve dve možnosti:

G=3 \\ D=7 \\

G=4 \\ D=9 \\

V tomto prípade nám však nič nezostane do ďalšieho odčítania, takže potrebujeme, aby F=8, a teda E=3, keďže E+F=11. Takže ak nechceme, aby sa nám opakovali cifry, musí automaticky platiť G=4 a D=9.

Teraz sa pozrime na druhý prípad, a to, že je správna druhá rovnica G+G+1=10+D. V tomto prípade musí byť F=7 a E=4, keďže jedna zostane. Pre cifry D a G teda zostávajú možnosti 3, 5, 6, 8, 9. Poďme vyskúšať všetky možné D:

D=3 \\ 3+3+1 = 7 \\ D=5 \\ 5+5+1 = 11 \\ D=6 \\ 6+6+1 = 13 \\ D=8 \\ 8+8+1 = 17 \\ D=9 \\ 9+9+1 = 19 \\

Z toho nám vyjde, že jediný prípad, kedy sa nabudú opakovať žiadne cifry je 6+6+1=13, kde D=6 a G=3.

Odpoveď: Existujú dve možnosti, ako prideliť cifrám zo zadania hodnotu.

Prvá vyzerá takto:

\begin{array}{ccccc} & 1 & 2 & 0 & 9 & 1 \\ & - & 3 & 8 & 4 & 8\\ \hline & & 8 & 2 & 4 & 3 \end{array}

Druhá takto:

\begin{array}{ccccc} & 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ & - & 4 & 7 & 6 & 7\\ \hline & & 7 & 2 & 6 & 4 \end{array}

Komentár