Koniec: 20. február 2025 22:00
Do konca: kolo skončilo

Danko, Macker a Merlin čakajú na autobus. Padá na nich sneh, prepletený kvapkami dažďu. Merlin si dá dole čiapku a nasadí ju trasúcemu sa Dankovi, ktorý má na sebe teraz už tretiu čiapku a cez vrstvy oblečenia mu ledva vidno oči. „Počujte, aj mne začína byť zima,“ preruší zvuk drkotania zubov Macker. „Poďme si zahrať hru, to nás hádam zahreje.“

1. príklad

Kategórie:
5

Danko, Macker a Merlin sa hrajú hru. Každé kolo hodia dve hracie kocky a každý získa buď jeden alebo nula bodov. Danko získa bod ak je súčet na kockách párny, Macker ak je súčin párny a Merlin keď je aspoň jedna kocka nepárna. Po 300 kolách má Danko 147 bodov a Macker 226. Koľko bodov má Merlin?

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

„Z toho hádzania kockami mi akurát ešte viac mrznú prsty,“ skonštatoval Merlin, ktorého slová sa vo vzduchu zrážali na paru. „Heeej, aj ja už mám tej zimy po krk, poďme na jarné prázdniny niekam kde je teplo,“ povedal Macker „Ale prosím nie do dažďového pralesa, dažďu bolo tiež dosť,“ zúžil výber potenciálnych destinácií Danko. „Tak teda poďme do púšte! Ale, ako?“ myšlienky na cestu im prerušil prichádzajúci autobus so zvláštnym číslom.

2. príklad

Kategórie:
5
6

Číslo autobusu je také číslo obsahujúce iba nenulové cifry, také, že keď sčítame jeho cifry, tak dostaneme 23. Ďalej pre toto číslo platí, že súčet žiadnych po sebe idúcich cifier (kľudne aj viacerých ako 2) nie je rovný 3.

  1. Mohlo mať číslo autobusu 11 cifier?
  2. Mohlo mať číslo autobusu 12 cifier?

Komentáre (7)

  • ifeelfishy
    22. január 2025 21:20

    Nerozumiem otazke. Priklad sa pyta ci existuje 11 rozdielnych cisiel autobusu splnajucich danu podmienku alebo ci existuje 11 ciferne cislo autobusu ktore splna danu podmienku? Dakujem pekne za ozrejmenie

  • TiBi
    23. január 2025 16:05

    Ja si myslím, že také 11 ciferne

  • JakubK Vedúci
    23. január 2025 16:32

    Ahojte,
    zadanie je myslené, že a) či mohlo mať 11 cifier a b) či mohlo mať 12 cifier, prepíšem to aj do zadania, aby to bolo jasnejšie.

  • danko.siroky@gmail.com
    23. január 2025 18:57

    moze byt nejaka cifra aj 0?
    dakujem

  • JakubK Vedúci
    25. január 2025 15:13

    Ahoj,
    v tejto úlohe rátame len nenulové cifry.

  • danko.siroky@gmail.com
    26. január 2025 16:53

    To, že niekoľko po sebe idúcich cifier nemôže mať súčet 3 znamená, že ani jedna cifra nemôže byť 3, alebo sa to týka iba súčtu dvoch a viacerých cifier?
    Ďakujem

  • JakubK Vedúci
    28. január 2025 10:45

    Týka sa to aj súčtu jednej po sebe idúcej cifry.

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

V teple autobusu si začali všetci traja v mysli baliť veci do púšte. „Ja som už surfoval na snehu, na internete, na vlakoch, no na pieskových dunách veru ešte nie,“ zamyslel sa Macker. „Ja mám doma vlastne tiež surf, ktorý by chcel oprášiť,“ spomenul si Merlin. „Raz som sa nudil, tak som si naň nakreslil také hviezdičky s číslami…“

3. príklad

Kategórie:
5
6
7

Nájdite všetky možné vyplnenia hviezdičky na Merlinovom surfe. Vyplnil ich kladnými celými číslami, tak aby:

  1. Súčet všetkých čísel vo hviezdičke bol dokopy 25.
  2. Hviezdička sa následne dala rozdeliť na niekoľko (aspoň 2 oblasti), tak aby súčet čísel v každej oblasti bol zhodný.

Každá oblasť sa skladá z niekoľkých (aj jedného) hranou susediacich trojuholníkov.

Komentáre (13)

  • Felix
    25. január 2025 13:43

    Dobrý deň,
    Môže byť oblasť aj jeden trojuholník?

  • JakubK Vedúci
    25. január 2025 15:10

    Ahoj,
    oblasť môže byť aj jeden trojuholník.

  • Sebastian
    26. január 2025 15:26

    Ked moze byt oblast moze byt aj iba 1 trojuholnik tak nam to nikdy nebude vychadzat kedze si vieme zobrat 3 a 1. Nie?

  • Sebastian
    26. január 2025 15:31

    Teda ked moze byt oblast aj iba 1 trojuholnik tak nam to nikdy nebude vychadzat lebo si vieme zobrat trojuholnik s hodnotou 3 a 1 a to je uz nerovne. Nie?

  • JakubK Vedúci
    28. január 2025 10:44

    Ahoj,
    oblasť môže byť tvorená aj jedným trojuholníjom. Keby si zobral do oblasti trojuholníky s hodnotou 3 a 1, tak by táto oblasť mala súčet 4 a teda by všetky oblasti museli mať súčet 4, čo sa ti ešte stále môže stať.

  • TiBi
    28. január 2025 16:05

    Môže tam byt nula

  • JakubK Vedúci
    28. január 2025 16:06

    Ahoj,
    nemôže tam byť aj nula, do hviezdy môžeš dopisovať len kladné celé čísla.

  • tobkox
    28. január 2025 16:39

    musia tie oblasti byt rovnako velke ?
    a musia vyplnit celu hviezdu alebo tam mozu zostat aj trojuholniky ktore nepatria do ziadnej oblasti?

  • JakubK Vedúci
    28. január 2025 16:41

    Ahoj,
    oblasti môžu byť rôzno veľké a nesmú sa prekrývať. Spojením všetkých oblastí musí vzniknúť celá hviezda, teda musíš využiť všetky trojuholníky.

  • tobkox
    03. február 2025 17:20

    maju tam byt iba cislice alebo mozu byt aj cisla

  • JakubK Vedúci
    03. február 2025 20:47

    Ahoj,
    do hviezdy môžeš dopisovať hocijaké kladné (väčšie ako 0) celé čísla, nie len cifry.

  • andy.rybar
    09. február 2025 18:50

    je obrazok s tymi cislami ilustracny alebo tie cisla tam musia byt?

  • JakubK Vedúci
    09. február 2025 19:23

    Ahoj,
    čísla, ktoré sú už vo hviezde sú už dané.

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

„Tak super! Destinácia aj program naplánovaný, len taký detail. Ako sa tam chceme dostať?“ Spýtal sa s malou dušičkou Merlin. Na chvíľu len ticho hľadeli na ligotavú podlahu autobusu. Otázka visela vo vzduchu ako otravný chuchvalec pavučiny, pridlho a nepríjemne. „Veď to je triviálne!“ vykríkol z ničoho nič Macker, „Poďme kružilasmi! Zajtra ráno sa stretnime o 6:57 na ich parkovisku. Môžeme nasadnúť na hociktorý, ktorého parkovisko svieti na zeleno, tak snáď tam budú nejaké voľné. Ale nebál by som sa, parkovisko je veľké. “

4. príklad

Kategórie:
5
6
7
8

Parkovisko má tvar tabuľky 2023 \times 2023, pričom každý jej štvorček 1 \times 1 svieti buď na červeno, alebo na zeleno. Platí, že práve v 1012 riadkoch je väčšina štvorčekov červených a práve 1012 stĺpcov má väčšinu štvorčekov zelených. Nájdite najväčšiu možnú stranu jednofarebného štvorca, ktorý sa skalá z niekoľkých štvorčekov tabuľky.

Komentáre (6)

  • danko.siroky@gmail.com
    30. január 2025 17:37

    Väčšina štvorčekov znamená, že musia byť nejaké štvorčeky aj tej druhej farby alebo môžu byť všetky jednej farby?
    Ďakujem

  • JakubK Vedúci
    30. január 2025 17:39

    Ahoj,
    kľudne môžeš mať štvorčeky len jednej farby, nemusíš tam mať aj tú druhú.

  • TimoHajdu
    13. február 2025 18:40

    Vadsina je najmenej polovica?

  • JakubK Vedúci
    13. február 2025 18:42

    Ahoj,
    väčšina je viac ako polovica, teda v tomto prípade to je 1012, keďže polovica by bola 1011,5.

  • Skrecok
    18. február 2025 08:25

    V 1012 riadkoch sa myslí že že celkovo alebo v každom riadku musí byť väčšina?

  • JakubK Vedúci
    18. február 2025 09:25

    Ahoj,
    v práve 1012 riadkoch má byť väčšina, to znamená, že ich je presne 1012.

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

Danko, Macker a Merlin vystúpia z kružilasu na Egyptských trhoch. Ešte si tam museli kúpiť surfy. „Aké veľké trhy!” žasol Macker. Merlin bol o niečo menej nadšený: „Určite tu bude aj veľa podvodníkov… poďme si čo najrýchlejšie kúpiť tie surfy, aby nás nikto neokradol.” Ako keby to Merlin privolal, pristúpil k nim pochybne vyzerajúci pán v čiernom kabáte. Povedal, že je obchodník a spýtal sa ich, či si s ním zahrajú nejakú hru. Snažili sa odmietnuť, ale nakoniec súhlasili.

5. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Hra sa hrá na tabuľke s rozmermi m \times n. Vpravo hore a vľavo dole majú po jednej figúrke na každom políčku vedúci a v ľavo hore a vpravo dole má obchodník svoje dve figúrky. V prvom ťahu začínajú vedúci a môžu pohnúť svoju figúrku na hranou susedné políčko. V druhom ťahu ide obchodník a môže pohnúť svoju figúrku na hranou susedné políčko. Takto sa hráči striedajú, pričom nemôžu položiť figúrku na štvorček, na ktorom sa už nachádza nejaká figúrka. Môžu vedúci dostať svoje figúrky na dve hranou susedné políčka bez ohľadu na to, ako hrá obchodník, ak má tabuľka rozmery 3 \times 4? Čo ak sa hrá hra na tabuľke 2024 \times 2025?

Komentáre (7)

  • TiBi
    29. január 2025 15:11

    Pokiaľ obchodník dostane svoje figúrky na dve susedné políčka skončila sa hra?

  • JakubK Vedúci
    29. január 2025 15:21

    Ahoj,
    hra sa končí, len ak vedúci položia svoje dve figúrky na susedné, vtedy vyhrávajú. Ak toto nemôžu spraviť, vyhráva obchodník.

  • juo
    31. január 2025 18:00

    Moze sa obchodnik vzdat tahu, alebo musi zakazdym tahat prave jednou figurkou?

  • JakubK Vedúci
    01. február 2025 18:57

    Ahoj,
    nikto sa svojho ťahu vzdať nemôže.

  • LukasB
    08. február 2025 11:01

    Funguje to tak ze pohnu veduci s obidvoma figurkami a potom obchodnici? Alebo iba jednou figurkou veduci a potom jednou figurkou obchodnik? A ak to druhe tak moze pohnut 2x rou istou figurkou?

  • PaloPcola
    08. február 2025 20:56

    3x4 je 3 policka vysoka aleno 3 policka siroka? alebo pri 3x4 ako su daleko od seba veduci od obchodnika? Je medzi nimi jedno alebo 2 policka?

  • JakubK Vedúci
    09. február 2025 09:39

    Ahojte,
    keď je vedúci alebo obchodník na ťahu, vždy pohnú iba jednou figúrkou, kľudne môžu hýbať stále tou istou v rôznych ťahoch.
    Tabuľka je 3 políčka vysoká (aj keď v skutočnosti na tom nezáleží). V tabuľke 3x4 majú vedúci 2 figúrky v protiľahlých rohoch a aj obchodník má 2 figúrky v druhej dvojici protiľahlých rohoch, takže medzi niektorými figúrkami je 1 políčko a medzi niektorými sú 2 políčka.

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

Keď vedúci dohrali s obchodníkom jeho hru a kúpili si surfy, narazili na ďalší problém. Museli nájsť spôsob ako sa dostať hlbšie do púšte. „Aha, tam sú nejaké ťavy! Môžeme ísť na nich,” navrhol Danko. Keď trojica podišla bližšie, ozval sa Merlin: „Teraz prosím žiadnych pofidérne vyzerajúcich ehm, obchodníkov.” „Čo takto tamten? Vyzerá múdro” povedal Macker ukazujúc na niekoho. Ostatní súhlasili, tak k nemu prišli a spýtali sa, či ich zoberie do púšte. Obchodník s ťavami súhlasil, ale mal 1 pravidlo. Hlupákov neberie. Dal teda vedúcim vyriešiť príklad.

6. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Obchodník vedúcim povedal, že keď mu povedia ľubovoľné celé číslo n > 1, on im na neho odpovie d, kde d je najväčší deliteľ n menší ako n. Vedúcim dal teraz za úlohu nájsť všetky kladné celé čísla väčšie ako 1 také, že súčet čísla, ktoré vyslovia vedúci a čísla, ktoré im na neho odpovie obchodník je mocnina 10.

Poznámka: Mocniny 10 sú čísla, ktoré dostaneme keď zoberieme číslo 10 a budeme ho opätovne násobiť číslom 10, takže prvé tri mocniny 10 sú: 10, 100, 1000.

Komentáre (2)

  • Felix
    25. január 2025 13:54

    Ahojte
    Musí byť delitel celé číslo?

  • JakubK Vedúci
    25. január 2025 15:12

    Ahoj,
    delitele musia byť len celé čísla.

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

Chvíľu po tom ako sa vybrali na cestu, pridal sa k nim ďalší cestujúci. Mal čierny plášť, kúzelnícky klobúk a paličku. S nikým sa nerozprával, iba sa hral so svojimi kartami. Keď sa celá skupinka zastavila na prestávku, prišiel k vedúcim a spýtal sa ich, či chcú niečo vidieť. Oni nadšene súhlasili.

7. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Sú dané dve kladné celé čísla n a k, pričom n \geq k > 1. Kúzelník má 2n kariet. Každá karta má na sebe z jednej strany napísané jedno z čísel 1, 2, \dots, n, pričom každé z týchto čísel sa vyskytuje na práve dvoch kartách. Vyloží ich doradu na piesok tak, aby neboli vidno čísla. Teraz v každom ťahu vedúci ukážu na ľubovoľných k kariet. Kúzelník im ich ukáže, potom týchto k kariet zamieša (tak ako mu vyhovuje) a položí ich na rovnaké pozície odkiaľ ich zobral (ale teraz môžu byť v inom poradí). Pre aké hodnoty k je možné, aby po konečnom počte ťahov vedúci s istotou ukázali na k kariet tak, aby medzi nimi bola aspoň jedna dvojica rovnakých kariet?

Komentáre (6)

  • Minecraftak0390
    14. február 2025 06:56

    K je nemenné? Teda ak v jednom ťahu vedúci otočí napr. 5 kariet, tak musí 5 kariet otočiť aj v ďalšom ťahu, alebo môže otočiť aj iný počet kariet?

  • JakubK Vedúci
    14. február 2025 08:33

    Ahoj,
    k je na začiatku hry dané a potom ostane fixné.

  • teri.visnovska@gmail.com
    16. február 2025 17:00

    ahojte, musi byt veduci taky ze aha tato moznost to bude urcite, alebo moze byt aj taky ze vyskusa 10 moznosti a povie si ze jedna z tych desitaich to urcite bude?

  • JakubK Vedúci
    16. február 2025 18:16

    Ahoj,
    kľudne môžeš vyskúšať tých 10 možností a povedať, že aspoň jedna z nich to bude, len to musíš dokázať, že to tak naozaj je, že niektorá z nich určite obsahuje aspoň 1 dvojicu rovnakých kariet.

  • Minecraftak0390
    20. február 2025 16:12

    Môže si obchodník namiešavať? Teda ak vie, že ak kartu položí sem tak vedúci vyhrá môže ju dať inam?

  • JakubK Vedúci
    20. február 2025 18:56

    Ahoj,
    obchodník si môže namiešavať.

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

Vedúcich síce bavilo hrať sa s kúzelníkom, ale museli pokračovať v ceste. Po nejakom čase boli konečne tam, kde mali celý čas namierené - na surférskom námestí. Kúzelník sa rýchlo rozlúčil a niekam odišiel. Danko sa išiel spýtať obchodníka kde ich počká, no obchodník sa iba zasmial: „Haha, vy hlupáci! Veď sme sa dohodli, že vás zoberiem iba do púšte, nie z nej.” Potom rýchlo ušiel aj s ťavami. Kým Danko viedol tento nepríjemný rozhovor, Macker s Merlinom boli úplne pohltení študovaním koberca, ktorý tam nechal kúzelník:

8. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Koberec ABCD je konvexný štvoruholník s pravým uhlom pri vrchole C. Na úsečke CD leží bod P tak, že |\sphericalangle APD| = |\sphericalangle BPC| a |\sphericalangle BAP| = |\sphericalangle ABC|. Dokážte, že |BC| = \frac{|AP|+|BP|}{2}.

Poznámka: Konvexný štvoruholník je taký, že všetky veľkosti jeho vnútorných uhlov sú menšie ako 180^\circ.

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

Vedúci surfovali celé hodiny. Dokonca si pri tom ani len nevšimli, že sa vzdialili od námestia a ani to, že už nevedia kde sú. Keď si to uvedomili, spanikárili. Po chvíli sa ukľudnili a začali hľadať cestu späť. Už ju dokonca hľadali tak dlho, že nedokázali chodiť rovno. „Mám pocit, že sa pohybujeme v tetrominách,” ozval sa unavene Merlin. „Podľa mňa chodíme do štvorcov.” ozval sa dehydratovaný Macker. „Myslíte? Koľko by sa teda zmestilo tetromín do takejto mriežky…” spýtal sa ešte unavenejší a dehydratovanejší Danko.

9. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Koľko najviac tetromín tvaru "S" sa zmestí do tabuľky:

  1. 5 \times 5
  2. 6 \times 6
  3. 7 \times 7

Pričom tieto tetrominá môžeme ľubovoľne otáčať a preklápať, avšak žiadne dve tetrominá sa nesmú prekrývať, vyčnievať z tabuľky a ani prekrývať necelé štvorčeky tabuľky. Tetromino "S" vyzerá nasledovne:

Komentáre (2)

  • TimoHajdu
    28. január 2025 18:45

    Ahojte tento priklad mam aj dokazat alebo nie

  • JakubK Vedúci
    28. január 2025 20:03

    Ahoj,
    áno, treba dokázať, že viac sa nedá a treba aj ukázať, že počet, ktorý tvrdíš, že sa dá sa naozaj dá.

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa

Po nejakom čase sa ozval vyčerpaný Merlin: „Buď som už fakt unavený alebo vidím nejakú podmnožinu vedúcich. Konkrétne Alic. Možno Aničku. A možno vidím dvojmo..” „No ja vidím iba Aničku,” zmätene sa obzeral Danko. Na to im však Macker neskočil: „Netrepte hlúposti.. veď podmnožinu všetkých vedúcich pred nami tvorí Alic a Ivka.”

10. príklad

Kategórie:
5
6
7
8
9

Nájdite vzhľadom na celé čísla m, n (nie nutne rôzne) všetky podmnožiny S (nie nutne s konečne veľa prvkami) celých čísel takých, že:

  • 0 sa nachádza v S,
  • m, n sa nachádzajú v S, ďalej m - n sa nachádza v S,
  • ak a sa nachádza v S, tak aj -a sa nachádza v S,
  • ak a, b, a-b sa nachádzajú v S, tak aj a+b sa nachádza v S.

„Vy okrem vymýšľania matematických príkladov dobrovoľníčite aj ako večera pre supy?” Spýtala sa vysmiata Ivka, zatiaľ čo Alic podávala Merlinovi vodu. „Nebyť vás, možno by sme ňou boli, len neviem či dobrovoľne. A vy tu čo robíte?” Dievčatá si nemo vymenili pohľady. „Hľadáme poklad,” povedala ticho Anička. Dankovi a Mackerovi sa rozžiarili unavené oči. „Tak v tom prípade už aj my.”

Komentáre (0)

  • Žiadne komentáre

Pridaj komentár

Pridať komentár môžeš iba keď si prihlásený!

Prihlásiť sa