9. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Na mape tvorí cesta Stanica-Objazd-Chata trojuholník, pričom vzdialenosť zo Stanice k Objazdu je 21km a vzdialenosť zo Stanice na Chatu je 20km. Na ceste zo Stanice k Chate je nakreslená Rekonštrukcia mosta vzdialená od stanice 8km, kvôli ktorej nemohol ísť autobus priamo. Na ceste zo Stanice k Objazdu si vedúci všimli obchod, pričom jeho vzdialenosť od Stanice bola 10km. Ako ďaleko je to z Objazdu ku Chate, ak viete, že rieka idúca cez Rekonštrukciu mosta a Obchod je kolmá na cestu zo Stanice na Chatu?

Poznámka: Všetky cesty a rieky sú rovné úsečky.

Vzorové riešenie

Opravovali: mišo

Pre lepšiu prehľadnosť označíme jednotlivé miesta bodmi. Stanica bude S, objazd bude O, chata C, rekonštrukcia R a obchod B. Podľa zadania máme situáciu ako na obrázku.


Našou úlohou je určiť dĺžku úsečky CO. Ako prvé si môžeme všimnúť, že keďže je trojuholník SRB pravouhlý s pravým uhlom pri vrchole S, vieme z |SR| = 8 a |SB| = 10 dopočítať |RB|. Z Pytagorovej vety dostaneme |RB| = \sqrt{|SB|^2 - |SR|^2} = \sqrt{100 - 64} = 6.

Ako nám to však pomôže s úsečkou CO? Nám by sa hodil skôr pravouhlý trojuholník obsahujúci túto úsečku. Taký vieme získať, keď si dokreslíme výšku na stranu SC. Označme jej pätu A. Keďže \sphericalangle OAC je pravý, trojuholník OAC je pravouhlý s preponou OC. Hodilo by sa nám teda zistiť dĺžky zvyšných strán.


To spravíme ľahko. Všimnime si, že trojuholníky SRB a SAO sú pravouhlé. Navyše majú oba spoločný uhol pri vrchole S, takže sú podobné podľa vety uu. My navyše poznáme aj pomer podobnosti. Keďže |SB| = 10 a |SO| = 21, pomer bude 10:21. Teraz vieme dorátať aj zvyšné strany trojuholníka SAO zo strán trojuholníka SRB. Konkrétne |SA| = \frac{21}{10} \cdot|SR| = 2{,}1 \cdot 8 = 16{,}8 a |AO| = 2{,}1 \cdot |RB| = 2{,}1 \cdot 6 = 12{,}6.

Teraz sa môžeme vrátiť k trojuholníku OAC. Vieme už, že |AO| = 12{,}6. Druhú odvesnu si vieme dopočítať ako časť úsečky SC, konkrétne |AC| = |SC| - |SA| = 20 - 16{,}8 = 3{,}2. Využitím Pytagorovej vety na trojuholník OAC dostaneme |CO| = \sqrt{|AO|^2 + |AC|^2} = \sqrt{158{,}76 + 10{,}24} = \sqrt{169} = 13.

Odpoveď: Z objazdu k chate je to 13 kilometrov.