7. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Nový autobus má divný tvar a vedúci nevedia, či sa do neho zmestia všetci účastníci, pomôžte im zistiť koľko miest na sedenie má.

Autobus je štvorec so stranou 12m, ktorý je rozdelený tak, ako na obrázku. V tmavších častiach sú miesta na sedenie a bledšie miesta sú priestory na batožinu. Zistite, aká plocha autobusu má miesta na sedenie, ak obsah bielej časti v strede je 12m^2.

Poznámka: Obrázok je len ilustračný, jeho odmeraním nedostanete presnú odpoveď.

Vzorové riešenie

Opravovali: SamuelBogner, katka_gersova, repepe

Zo zadania vieme len obsah vyznačeného úseku a dĺžku strany štvorca. S týmito údajmi nevieme priamo vypočítať obsah žiadnej z tmavých častí. Môžeme sa teda pozrieť na počítanie obsahov väčších častí, ktoré obsahujú tmavšie aj bledšie útvary. Označme si najprv body, ktoré budeme pri riešení potrebovať. Konkrétne bodyA,\, B,\, C,\, D,\, E,\, F,\, G,\, H,\, I,\, J.

Skúsme vypočítať obsah \triangle ABC. Ale najprv sa pozrime, či poznáme dĺžku výšky a strany. Zo zadania vieme, že \left| AC \right| = 12m, takže dĺžku strany poznáme, a výška na stranu AC = 12m, čo taktiež vyplýva zo zadania. Teraz len dáme stranu a výšku do vzorca pre výpočet obsahu trojuholníka.

S_{ABC} = \dfrac{\left| AC \right| \times \left| V_{AC} \right|}{2}

S_{ABC} = \dfrac{12 \times 12}{2}

S_{ABC} = 72 \text{m}^2

V \triangle ABC máme aj časť, ktorá má zo zadania obsah 12 \text{m}^2. Teraz vieme vypočítať súčet obsahov AGFJC a BHI:


S_{AGFJC} + S_{BHI} = S_{ABC} - 12 \text{m}^2
S_{AGFJC} + S_{BHI} = 72 - 12 = 60 \text{m}^2

Pozrime sa na \triangle ADE a\triangle ADC a porovnáme ich obsahy. Výška na stranu AD = 12m v oboch trojuholníkoch. Ale dĺžku strany AD nepoznáme. Preto si ju zaznačíme značímeAD:


S_{ADE} = \dfrac{\left| AD \right| \times \left| V_{AD} \right|}{2} = \dfrac{AD \times 12}{2}

S_{ADC} = \dfrac{\left| AD \right| \times \left| V_{AD} \right|}{2} = \dfrac{AD \times 12}{2}

Dostali sme rovnaký výraz pre obsah S_{ADE} aj S_{ADC}. Z toho vyplýva, žeS_{ADE} = S_{ADC}


Môžeme si všimnúť, že \triangle ADF je prienikom \triangle ADC a \triangle ADE.


To znamená, že obsah častí, ktoré sa neprekrývajú, je rovnaký(konkrétne S_{AFC} = S_{AFE})

Predtým sme si ukázali žeS_{AGFJC} + S_{BHI} = 60 \text{m}^2. Tým, že platíS_{AFC} = S_{AFE}, \triangle AFC môžeme vymeniť za \triangle AFE a stále je obsah výsledného telesa (AGDHBIEJCF)60 \text{m}^2

Všimnime si, že tento útvar sa skladá zo všetkých tmavých častí a nachádza v ňom len jedna svetlá časť,FGHIJ, ktorá má zo zadania obsah12 \text{m}^2. Obsah všetkých tmavých častí (označme si ho S) tým pádom dostaneme, rozdielom S_{AGDHBIEJCF} a S_{FGHIJ}:


S = S_{AGDHBIEJCF} - S_{FGHIJ}
S = 60 - 12
S = 48 \text{m}^2

Odpoveď: Obsah všetkých miest na sedenie je 48 \text{m}^2.