Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok
×4. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Účastníci sa rozleteli na 5 kôpok, pričom na každú kôpku pristál iný, celočíselný, kladný počet účastníkov. Koľko mohlo byť účastníkov, aby sme vedeli jednoznačne povedať, aké budú veľkosti kôpok? Nezáleží nám pri tom na ich poradí.
Poznámka: Ak by sme mali v zadaní iba 2 kôpky, fungovalo by 3 = 1 + 2 a 4 = 1 + 3, no napríklad 10 = 2 + 8 = 1 + 9, už nie.Vzorové riešenie
Najmenší počet účastníkov, ktorý by mohol byť, je 15. Všetky počty musia byť rôzne, zoberieme teda 5najmenších kladných čísel 1+2+3+4+5. Pri počte 15 určite nemáme inú možnosť, aké veľké by mohli byť kôpky (lebo sme zobrali úplne najmenšie), a teda ich veľkosti vieme jednoznačne povedať. Poďme si to ale ešte trochu rozmyslieť.
Ak by mala existovať iná kombinácia čísiel, ktoré budú mať rovnaký súčet, dostaneme ju tak, že niektoré čísla z pôvodnej kombinácie zväčšíme, a iné o rovnako veľa zmenšíme. Pri súčte 15 ale žiadne číslo zmenšiť nemôžeme, keďže všetky čísla nižšie už sú vždy použité.
Podobne môžeme argumentovať pri súčte 16, ktorý dostaneme ako 1+2+3+4+6. Jediné číslo, ktoré môžeme zmenšiť, aby sme dostali inú kombináciu, je číslo 6, a môžeme ho zmenšiť iba o 1. Iné číslo by sme potom ale museli zväčšiť o 1, aby zostal súčet rovnaký, no všetky výsledné čísla už máme použité. To platí aj pre číslo 4, keďže 5 sme už dostali zmenšením 6-ky.
Pri ďalšom súčte 1+2+3+4+7=17 môžeme opäť zmenšiť číslo 7. Napríklad o 1, a potom vieme zväčšiť 4-ku. Tým dostaneme novú kombináciu ako dostaneme číslo 17: 1+2+3+5+6. Podobne pri všetkých vyšších súčtoch máme možnosť zobrať 1+2+3+4+x, kde môžeme zmenšiť x o 1 a zväčšiť 4 o 1 bez toho, aby sa nám čísla opakovali. Konkrétnejšie, keď chceme dostať súčet n, budeme mať možnosti 1+2+3+4+(n-10) alebo 1+2+3+5+(n-11). Samozrejme, pri vyšších číslach bude možností ešte oveľa viac, no stačia nám dve na to, aby sme nevedeli s istotou určiť, ktorá z nich to bola.
Odpoveď: Účastníkov mohlo byť 15 alebo 16.