Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok
×3. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Máme kruhový stôl, ktorý má na obvode vyrezaných 6 celých čísel (môžu byť aj záporné). Medzi číslami je vložených 6 papierov. Macker prišiel k jednému papieru, pozrel sa na číslo naľavo od papiera a odčítal od neho číslo napravo od papiera. Výsledok zapísal na papier. Napríklad, ak naľavo bolo na stole číslo 2 a napravo číslo 5, tak na papier napísal 2-5=-3. Tento postup zopakoval pre všetky papiere. Mohli byť na konci na papieroch napísané po sebe idúce čísla? Aké čísla by museli byť na začiatku na stole? Čo ak by na začiatku bolo na stole vyrezaných 7 čísel a medzi nimi 7 papierov?
Vzorové riešenie
Čísla, ktoré sú vyrezané si označíme písmenami A až F. Ak chceme aby na papieroch, na ktoré Macker napísal čísla, boli za sebou idúce čísla tak si ich vieme označiť x, (x+1),... až (x+5). Takisto by sme si ich mohli označiť ako x, (x-1), ..., na riešení by to nič nezmenilo: (x-5) by sa rovnalo predošlému x a terajšie x by sa rovnalo v predošlom označení (x+5). x sa zároveň rovná (A-B) lebo označenie čísel na stole si vieme vybrať tak aby A bolo pri x, (x+1)=B-C a tak ďalej až (F-A)=x+5.
Súčet čísiel na papierikoch je nasledovný:
x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)=6x+15
Tento istý súčet si vyjadríme pomocou čísiel A až F:
(A-B)+(B-C)+(C-D)+(D-E)+(E-F)+(F-A)=(A-A)+(B-B)+(C-C)+(D-D)+(E-E)+(F-F)=0
Kedže všetky zátvorky iba sčítavame tak si ich môžeme odstrániť a preusporiadať si čísla tak aby sme mali vždy dvojicu N-N ktorá je rovná 0. Takto dostaneme že každé číslo je v takejto dvojici a teda celkový súčet je 0
Vidíme teda, že súčet všetkých čísel na papierikoch je rovný 6x+15 a zároveň 0, takže 6x+15=0 respektíve 6x=-15. Teraz si môžeme obe časti vydeliť 6 a dostaneme x=-\frac{15}{6}=-\frac{5}{2}=-2.5. Kedže ale x je číslo na papieriku, tak musí byť celé číslo. -2.5 ale nie je celé číslo takže čísel na stole nemohlo byť 6, lebo v zadaní máme zadané že všetky čísla boli celé avšak nám vyšlo že čísla na papierikoch museli byť -2.5,-1.5,-0.5,0.5,1.5,2.5.
Teraz sa pozrieme na možnosť, že na stole bolo 7 čísel. V tejto možnosti máme to isté čo pri 6 číslach ale pridáme číslo G. Čísla si vieme tento raz označiť ako x,x+1,x+2...x+6 a zároveň tak ako pri 6 číslach platí že (A-B)=x, (B-C)=x+1 a tak ďalej až po (G-A)=x+6.
Súčet na papierikoch bude teda teraz nasledovný:
x+(x+1)+(x+2)+(x+3)+(x+4)+(x+5)+(x+6)=7x+21
A ten istý súčet vyjadrený pomocou čísel A až G bude:
(A-B)+(B-C)+(C-D)+(D-E)+(E-F)+(F-G)+(G-A)=(A-A)+(B-B)+(C-C)+(D-D)+(E-E)+(F-F)+(G-G)=0
Dostali sme teda znovu to čo pri možnosti so 6 číslami ale tento raz 7x+21=0. Túto rovnicu si upravíme na 7x=-21 a následne obe strany vydelíme 7, takto dostaneme že x=-\frac{21}{7}=-3. -3 je celé číslo takže spĺňa zdanie, pozrime sa teraz na to aké rozdiely boli na papierikoch a čomu sa mohli rovnať čísla na stole.
čísla na papierikoch boli postupne -3,-2,-1,0,1,2,3 a čísla na stole mohli byť ľubovolné také aby ich rozdieli boli poporadí takéto, napríklad ak A=0 tak by sme dostali čísla 0,3,5,6,6,5,3. Tieto čísla naozaj spĺňajú zadanie takže 7 čísel na stole mohlo byť.
Odpoveď: Na stole mohlo byť 7 čísel ale nemohlo ich byť 6.