2. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Vedúci sa snažili zistiť akou rýchlosťou išiel autobus, v autobuse bolo vidno, že číslo na tachometri bolo trojciferné tzn. ABC. Toto číslo sa zároveň odrážalo od skla, ktoré kryje tachometer, takže bolo vidno aj číslo, ktoré malo opačné poradie číslic ako číslo na tachometri tzn. CBA. Keďže sa tieto dve čísla prekrývali, tak vedúci vedeli prečítať iba ich súčin ktorý bol 92565. Aké všetky čísla mohli byť na tachometri?
Vzorové riešenie
Napíšme si daný súčin klasicky pod seba (hodnoty x_1, \dots, x_8 je prechod cez 10 pri predchádzajúcej cifre):
\begin{aligned}&&&&A&&B&&C\, \\&&&&C&&B&&A\, \\ \hline&&x_3\quad&&AA+x_2&&AB+x_1&&AC\, \\x_6\quad&&BA+ x_5&&BB+x_4&&BC&& \\CA+x_8&&CB+x_7&&CC&&&& \\ \hline9\quad&&2\quad&&5\quad&&6\quad&&5\,\end{aligned}
Môžeme si všimúť, že súčin AC musí končiť cifrou 5. Takže A alebo C je rovné 5 a to druhé musí byť nutne nepárne, inak by posledná cifra bola 0. Tiež si vieme všimnúť, že tento súčin spolu s prechodom tvorí aj prvú cifru. To znamená, že tento súčin musí byť menší ako 10, inak by nám vzniklo až šesťciferné číslo, ale zároveň musí byť väčší ako 1, inak by nám mohlo vzniknúť iba štvorciferné číslo. Teda jediná možnosť pre druhú cifru k 5 je 1, takže A alebo C je 5 a to druhé je 1.
Teraz sa pozrime na druhý stĺpec zprava. AB+x_1+BC má mať poslednú cifru 6. Vieme, že z AC prechod nie je, takže vieme tento súčet upraviť na B\cdot(A+C)=B\cdot(5+1)=6\cdot B. Tento výsledok má končiť na 6 a to nám dáva iba dve možnosti na B a to 1 alebo 6.
To nám dáva 4 možnosti ako mohlo číslo ABC vyzerať: 115, 165, 511, 561. Tým, že sa číslo ABCnásobí číslom s opačným poradím cifier CBA a dvojice čísel 115, 511 a 165, 561 sú čísla s opačným poradím cifier , tak stačí vyskúšať len možnosti, ktoré sa líšia v hodnote cifry B.
- 115\cdot511=58\,765, to je málo
- 165\cdot561=92\,565, to je správne
Odpoveď: Na tachometri mohlo byť buď číslo 165 alebo číslo 561.