Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok
×9. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Vagón s vedúcimi má po ohorení tvar trojuholníka. Vedúci si všimli, že všetky steny vagóna sú rovnako dlhé.
Oliver, Mišo a Kubo sa hneď rozbehli pozrieť ku ktorej stene to majú najbližšie, aby deti vedeli odviesť čo najrýchlejšie z vlaku. Dokážte, že bez ohľadu na polohu v trojuholníku z ktorej vedúci začínali, dokopy museli ubehnúť rovnakú vzdialenosť.
Vzorové riešenie
Označme si bod, z ktorého sa vedúci rozbehli, ako S. Bod S sa nachádza ľubovoľne v rovnostrannom trojuholníku ABC (v zadaní je spomenutý vagón). Vedúci chcú bežať najkratšiu vzdialenosť ku stranám trojuholníka, a teda bežia po úsečkách, ktoré začínajú v bode S a sú kolmé na strany trojuholníka. Máme dokázať, že pre ľubovoľne zvolený bod S bude súčet týchto úsečiek (po ktorých bežia vedúci) zhodný.
Čo nám najprv napadne, je zvoliť si nejaký okrajový prípad, ktorý vieme ľahko vyriešiť. Napríklad ak by bol bod S v ľubovoľnom z vrcholov trojuholníka, bežal by iba jeden z vedúcich a odbehol by vzdialenosť rovnú výške trojuholníka.
Skúsme si dať bod S do ortocentra, teda priesečníka výšok trojuholníka. O výškach rovnostranného trojuholníka vieme, že sú zároveň jeho ťažnicami. Ťažnice sa navzájom delia na úseky v pomere 2:1, čo znamená, že od ich priesečníka je vzdialenosť ku každej strane trojuholníka \frac{1}{3} výšky, a teda spolu to je skutočne výška trojuholníka ako v predošlom prípade.
Takéto ľahké a veľmi špecifické príklady bodu S nám vedia pomôcť, ak by nás zaujímala hodnota tohto súčtu, ale nepovedia veľa o všetkých tých ostatných bodoch. Väčšinou dôkaz, prečo to funguje v týchto špeciálnych prípadoch, je úplne odlišný od takého, aký treba použiť na inak zvolený bod S.
Chceme dokazovať, že je niečo (súčet kolmých úsečiek z bodu S) konštantné. Niekedy sa pri takýchto úlohách oplatí vyjadriť si pomocou neznámych (dĺžok úsečiek) nejakú inú vec, o ktorej vieme, že je konštantná. V tomto príklade to bolo najjednoduchšie s obsahom trojuholníka ABC=a\cdot v, kde a je dĺžka strany trojuholníka. Označme si ľubovoľný bod S a vyjadrime si obsahy trojuholníkov ABS, BCS a ACS pomocou neznámych úsečiek SX, SY a SZ a dĺžky strany trojuholníka ABC, čiže a.
S_{ABS} = a \cdot \left| SX \right|
S_{BCS} = a \cdot \left| SY \right|
S_{ACS} = a \cdot \left| SZ \right|
Vieme, že súčet obsahov týchto trojuholníkov sa rovná obsahu veľkého trojuholníka ABC, teda po dosadení a následných úpravách dostaneme:
S_{ABC} = S_{ABS} + S_{BCS} + S_{ACS},
a\cdot v = a \cdot \left| SX \right| + a \cdot \left| SY \right| + a \cdot \left| SZ \right|.
Vieme, že súčet obsahov týchto trojuholníkov sa rovná obsahu veľkého trojuholníka ABC, teda po úpravách dostaneme
v =\left| SX \right| + \left| SY \right| + \left| SZ \right|.
To znamená, že súčet dĺžok kolmíc SX, SY a SZ sa vždy bude rovnať výške trojuholníka ABC.