6. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Vlak chodí po okružnej trase cez 9 staníc. Každá z nich je označená inou cifrou od 1 do 9 (nemusia byť v poradí).

  1. Dokážte, že existuje trojica po sebe idúcich staníc, ktorých čísla majú súčet aspoň 15.
  2. Dokážte, že existuje trojica po sebe idúcich staníc, ktorých čísla majú súčet aspoň 16.

Vzorové riešenie

Opravovali: JakubLecak, Paľo, klaudia, matus192

Ako prvé si označme našich deväť zastávok písmenami, aby sme sa vedeli o nich poriadne vyjadrovať. Toto označenie je na obrázku:
Ďalší podstatný fakt pri riešení tejto úlohy je, že 1+2+3+\ldots+9 = 45. Teraz vyriešime obe časti úlohy a to takzvaným "dôkazom sporom". To znamená, že budeme predpokladať opak toho, čo máme dokázať a z toho nám vyjde nejaký spor so zadaním.

Predpokladajme teda, že žiaden súčet v trojici NIE je aspoň 15. Potom sú všetky tieto súčty 14 alebo menej. Z toho potom, podľa značenia na obrázku, platí A+B+C \leq 14, D+E+F \leq 14, G+H+I \leq 14. Potom ale určite platí, že A+B+C+D+E+F+G+H+I \leq 42. My však vieme, že týchto deväť písmen ukrýva práve cifry 1,\ldots,9, preto ich súčet musí byť 45 =A+B+C+D+E+F+G+H+I \leq 42, čo nie je možné. Preto tvrdenie v a) platí.

Teraz predpokladajme, pre popretie časti b), že žiaden súčet v trojici NIE je aspoň 16. Potom sú všetky tieto súčty 15 alebo menej a získavame A+B+C \leq 15, D+E+F \leq 15, G+H+I \leq 15. Potom 45 =A+B+C+D+E+F+G+H+I \leq 45, z čoho vyplýva že predošlé nerovnosti musia platiť ako rovnosti, inak získame primalý súčet.

Ak túto ideu zopakujeme s trojicami \{B,C,D\}, \{E,F,G\}, \{H,I,A\}, a následne aj s trojicami \{I,A,B\}, \{C,D,E\}, \{F,G,H\}, zistíme, že aj tieto trojice by museli mať súčet práve 15, inak by bola nejaká trojica s priveľkým súčtom.

Lenže teraz má platiť A+B+C=15=B+C+D, z čoho vychádza, že A=D. To ale nie je možné, lebo deväť vložených cifier má byť rôznych. Preto musí aj tvrdenie b) platiť a máme hotovo.

Komentár

Mnohí z vás sa pustili do úlohy z pohľadu "priemerných" súčtov a snažili sa argumentovať štýlom "ak je priemer číšel x, tak potom aspoň jedno z čísel je aspoň x". Toto nie je zlá idea, ale dá sa veľmi ľahko zabudnúť na detaily, za ktoré sme vám museli nejaké tie body postrhávať.

Iní sa dali na to cestou skúšania, niektorí hrubšou silou ako ostatní. V takom prípade treba naozaj všetky relevantné možnosti vypísať a tiež zdôvodniť, prečo iné nie sú. Tento typ riešenia nemal veľký úspech a ani my ako vedúci ho veľmi nepodporujeme. Preto je toto vzorové riešenie bez akéhokoľvek skúšania.