4. príklad - Vzorové riešenie

Na začiatok si účastníkov postupne označíme ako a_1, a_2, a_3, \dots, a_{60}​. Podľa zadania musí platiť, že každá osmica účastníkov má súčet 30​, takže

\begin{aligned}a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 &= 30 \\a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9 &= 30 \\a_3 + \dots + a_{10} &= 30 \\&\,\,\,\vdots \\a_{60} + \dots + a_7 &= 30 \end{aligned}

(keďže sú účastníci posadení do kruhu, tak po a_{60}​ nasleduje a_1, a_2, \dots​).

V prvej rovnici si nahradíme pravú stranu (30​) ľavou stranou druhej rovnice, ktorá sa tiež rovná 30​:

a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 = a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 + a_9

Keďže a_2, a_3, a_4, a_5, a_6, a_7​ a a_8 sú rovnaké pre obe strany rovnice, tak ich môžeme odčítať. Po odčítaní nám vyjde a_1 = a_9.

Rovnaký postup vieme aplikovať pre všetkých účastníkov, napr.:

\begin{aligned}a_9 + a_{10} + \dots + a_{16} &= a_{10} + \dots + a_{16} + a_{17} \quad /-(a_{10} + \dots + a_{16}) \\a_9 &= a_{17}\end{aligned}
​alebo
\begin{aligned}a_2 + a_3 + \dots + a_9 &= a_3 + \dots + a_9 + a_{10} \quad /-(a_3 + \dots + a_9) \\a_2 &= a_{10}.\end{aligned}

Bystré oko si isto všimne, že každý ôsmy účastník má rovnaké číslo. To znamená, že si môžeme vypísať účastníkov, ktorí budú mať rovnaké čísla:

​a_1 = a_9 = a_{17} = a_{25} = a_{33} = a_{41} = a_{49} = a_{57} = \\ = a_5 = a_{13} = a_{21} = a_{29} = a_{37} = a_{45} = a_{53} = a_1

Vidíme, že sme prišli znovu k a_1​, takže ďalej už nemusíme vypisovať, lebo by sme pokračovali účastníkmi, ktorých už máme zapísaných (a_9, a_{17}, \dots​). Podobný postup aplikujeme pre ďalších účastníkov:

​a_2 = a_{10} = a_{18} = a_{26} = a_{34} = a_{42} = a_{50} = a_{58} = \\ = a_{6} = a_{14} = a_{22} = a_{30} = a_{38} = a_{46} = a_{54} = a_2\\[8pt] a_3 = a_{11} = a_{19} = a_{27} = a_{35} = a_{43} = a_{51} = a_{59} = \\ = a_7 = a_{15} = a_{23} = a_{31} = a_{39} = a_{47} = a_{55} = a_3\\[8pt] a_4 = a_{12} = a_{20} = a_{28} = a_{36} = a_{44} = a_{52} = a_{60} = \\ = a_8 = a_{16} = a_{24} = a_{32} = a_{40} = a_{48} = a_{56} = a_4

Ďalej už nemusíme pokračovať keďže a_5​ už máme zapísaného, že má totožné číslo s a_1​. Z toho, čo sme si vypísali, vyplýva, že každý 4. účastník má rovnaké číslo. Preto, keď je súčet ôsmych po sebe idúcich čísiel 30​, súčet 4​ po sebe idúcich čísiel bude 15​ (30 : 2​).

Ďalej budeme využívať, to čo sme si dokázali doteraz a rovnice zo zadania. Vieme, že a_{14} + a_{54} = 12​. Keďže aj a_{14}​ aj a_{54}​ sa rovnajú a_2​, tak platí 2 \cdot a_2 = 12 \implies a_2 = 6. Rozdiel a_{38} - a_7 = 4, a_{38} = a_2​ a teda sa rovná 6​.

\begin{aligned}6 - a_7 &= 4 \quad /-4 + a_7 \\2 &= a_7 = a_3 \\a_{44} + a_{22} &= 10 \quad a_{44} = a_4,\, a_{22} = a_2 = 6 \\a_4 + 6 &= 10 \quad /-6 \\a_4 &= 4 \\\end{aligned}​​

Už teda poznáme aj 2.​, aj 3.​, aj 4.​ číslo a tak môžeme dopočítať 1.​ číslo.

\begin{aligned}15 &= a_1 + 6 + 2 + 4 \\15 &= a_1 + 12 \quad /-12 \\3 &= a_1\end{aligned}

Vyšlo nám teda, že číslo na 1.​ pozícii je 3​, poďme si to ale pre istotu skontrolovať skúškou správnosti:

\begin{aligned}a_1 + a_2 + a_3 + a_4 + a_5 + a_6 + a_7 + a_8 &= 30 \\3 + 6 + 2 + 4 + 3 + 6 + 2 + 4 &= 30 \\15 + 15 &= 30 \\30 &= 30,\end{aligned}

teda výsledok je ozaj správne.

Odpoveď: Číslo na 1.​ pozícii je 3​.

Komentár

Skoro všetci ste tento príklad zvládli vyriešiť na 10 bodov. Častou chybou bolo nedostatočné zdôvodnenie, prečo sa bude v kruhu opakovať 8 čísel na hlavách účastníkov alebo pokračovanie tejto myšlienky, že sa vlastne čísla opakujú po 4 účastníkoch.​

Bodovanie

3 body za dokázanie, že každé 8.​ číslo je rovnaké. 2​ body za dokázanie, že každé 4.​ číslo je rovnaké. 2​ body za 1.​ rovnicu (zistenie, že a_2 = 6​). Po 1​ bode za zvyšné 2​ rovnice a dopočítanie výsledku.