3. príklad - Vzorové riešenie

Súčasťou úlohy určite bude aj ukázať, ktoré čísla nie sú riešeniami - dokázať že sa nedajú vysčítať jednoznačne. To bude možno dobrý začiatok, ak si skúšame vysčítať rôzne malé čísla, zisťujeme že čísla 7, 9​ a 10​ vieme získať viacerými spôsobmi.

Číslo 7​ vieme dostať ako 7​ samotnú, alebo súčtom 5+2​. Podobne to môžeme urobiť aj pri čísle 9 a ľubovoľnom čísle, kde v súčte máme 7. Ak je to 7+niečo, napríklad 7+2, vieme to nasčítať aj ako 5+2+niečo, v tomto prípade 5+2+2. Z toho vieme, že v súčte hľadaných čísel sa nesmie dať použiť 7.

Zároveň to funguje aj opačne. Ak by sme použili v súčte 5 aj 2 zároveň, môžeme tieto dve čísla zameniť za jednu 7. Preto jednoznačne vysčítateľné čísla môžu byť len tie, ktoré sú súčtom iba dvojok, alebo iba pätiek.

Koľko najviac dvojok alebo pätiek ale môžeme použiť? Ak sa pozrieme na číslo 10, vidíme tam tiež problém. Dá sa vysčítať ako 5+5 alebo 2+2+2+2+2. Vždy ak máme v súčte aspoň dve päťky, môžeme dve z nich zmeniť za päť dvojok alebo naopak. ​

Najviac preto môžeme použiť štyri dvojky a dostávame riešenia: 2, 4, 6 a 8. Alebo jednu päťku, ktorá je posledným riešením.

Iné existovať nemôžu, lebo budú obsahovať buď viac dvojok či pätiek, alebo obe naraz. Ak rátame s tým, že súčet môže obsahovať aj 0 čísel, medzi odpovede môžeme zarátať aj 0. (Táto možnosť nebola hodnotená). Okrem nej existujú ešte dve čísla, ktoré neobsahujú v súčte priveľa čísel, to sú 1 a 3. Tie však medzi riešeniami nie sú, lebo sa z 2 a 5 nedajú vysčítať ani jedným spôsobom.

Odpoveď:​ Jednoznačne vysčítať sa dajú čísla 2, 4, 5, 6, 8.

Komentár

Väčšina riešiteľov využilo iný prístup, ktorý vyzeral približne takto:

Číslo 10 vieme vysčítať aj ako 2+2+2+2+2 aj ako 5+5. Číslo 7 zas vieme vysčítať ako 7 aj ako 5+2. Keď ku 7 alebo 10 pripočítame niekoľko krát 2-ku, vždy vieme časť súčtu, 10-ku resp. 7-ku rozpísať dvoma spôsobmi. Tak dostaneme z 10 párne a zo 7 nepárne čísla. Ukázali sme teda, že všetky čísla (párne aj nepárne) od 10 vyššie nie sú jednoznačne vysčítateľné. Teraz už len vyskúšame čísla do 10 (okrem 7 a 9=7+2), a zistíme že 1, 3 nevieme vysčítať vôbec, ostatné čísla 2, 4, 5, 6, 8 sú riešeniami.

V tomto prístupe je posledný krok celkom komplikovaný, pretože musíme overiť, že naozaj všetky ostatné čísla do 10 vieme vysčítať a že budú jednoznačné. Aby to bolo naozaj poriadne dokázané, mali by sme odskúšať všetky (dostatočne malé) kombinácie súčtov 2, 5 a 7, čo väčšina riešiteľov nemala. Naše vzorové riešenie je v tomto "krajšie", pretože rovno hovorí, že jediné možnosti budú násobky dvojky do 8 alebo číslo 5, čo dáva informáciu o tom, ako tieto čísla vieme vysčítať.

Za tento drobný nedostatok sme body nestrhávali, no v zložitejších príkladoch podobné tvrdenie nemusí byť považované za samozrejmé.