Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok
×2. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Na hasiacom prístroji sú 4 čísla určujúce jeho záruku. Čísla sú trochu rozmazané, zistiť sa z nich dá len nasledovné:
- Všetky štyri čísla sú kladné, menšie ako 50 a deliteľné 7
- Rozdiel súčtu dvoch väčších a súčtu dvoch menších čísel, je rovný najväčšiemu číslu.
- Rozdiel súčtu najmenšieho a najväčšieho čísla a súčtu prostredných dvoch je 7.
Pomôžte vedúcim zistiť, aké 4 čísla boli na hasiacom prístroji.
Vzorové riešenie
Začneme prvým pravidlom. To hovorí, že na hasiacom prístroji mohli byť iba kladné násobky 7 menšie ako 50, takže 7, 14, 21, 28, 35, 42 a 49. Skôr, ako sa pozrieme na ostatné pravidlá si tieto štyri čísla nazvime a, b, c, d, pričom platí, že a \leq b \leq c \leq d (teda a je najmenšie a d je najväčšie).
Teraz prejdime na ďalšie pravidlá. V druhom pravidle sa hovorí o tom, že rozdiel dvoch najväčších čísel a dvoch najmenších čísel je rovný najväčšiemu číslu, čo sa dá zapísať ako (d+c)-(a+b)=d. Po odčítaní d z oboch strán rovnice zistíme, že c-a-b=0, a teda c=a+b.
Podľa tretieho pravidla keď sčítame najväčšie s najmenším a odčítame od nich prostredné, vyjde 7. To vieme napísať ako (a+d)-(b+c)=7. Keď namiesto c napíšeme do tejto rovnice a+b (podľa predchádzajúceho pravidla je to rovnako veľa), vyjde nám (a+d)-(b+(a+b))=7, čo vieme upraviť na d-b-b=7, a teda d=2 \cdot b+7. Z tohto viem povedať, že a nemôže byť väčšie ako 21, lebo inak by muselo byť a aj b najmenej 28, takže c by nebolo menšie ako 56. Ani b nemôže byť väčšie ako 21, lebo ak b=28, tak d=2\cdot28+7=63, čo je viac ako 50.
Teraz už mi zostáva iba vyskúšať všetky zvyšné možnosti, či naozaj fungujú.
Ak a=7, b=7, tak c=a+b=14, d=2\cdot b+7=21.
Ak a=7, b=14, tak c=a+b=21, d=2\cdot b+7=35.
Ak a=7, b=21, tak c=a+b=28, d=2\cdot b+7=49.
Ak a=14, b=14, tak c=a+b=28, d=2\cdot b+7=35.
Ak a=14, b=21, tak c=a+b=35, d=2\cdot b+7=49.
Ak a=21, b=21, tak c=a+b=42, d=2\cdot b+7=49.
Týchto 6 možností spĺňa všetky podmienky.
Odpoveď: Na hasiacom prístroji mohli byť štvorice 7, 7, 14, 21; 7, 14, 21, 35; 7, 21, 28, 49; 14, 14, 28, 35; 14, 21, 35, 49; 21, 21, 42, 49.