Kategórie:
5

Zadanie

Vedúci našli vo veciach iba jednu flašu plnú vody. Aby vedeli efektívnejšie hasiť, tak vodu z tejto flaše rozliali do 3 pohárov rovným dielom. Následne si všimli, že prvý pohár je naplnený do jednej polovice, druhý do dvoch tretín a tretí do troch štvrtín svojho objemu. Aký je najmenší možný objem jednotlivých nádob, keď vieme, že je každý z nich celočíselný?

Vzorové riešenie

Opravovali: JozefB

​Označme si objem prvej nádoby ako x​, druhej ako y​ a tretej ako z​. Vieme, že musí platiť, že x \cdot \frac 1 2 = y \cdot \frac 2 3 = z \cdot \frac 3 4​. Bolo by super, ak by sme sa tých polovíc, tretín, štvrtín zbavili. Ako to dosiahneme? Vieme si objem vody v jednotlivých nádobách upraviť takto:

x \cdot \dfrac {6} {12} \qquad \left( \dfrac {1} {2} = \dfrac {6} {12} \right)\\ y \cdot \dfrac {8} {12} \qquad \left( \dfrac {2} {3} = \dfrac {8} {12} \right)\\ z \cdot \dfrac {9} {12} \qquad \left( \dfrac {3} {4} = \dfrac {9} {12} \right)

Vieme, že platí, že objem vody v pohároch je rovnaký, teda x \cdot \frac {6} {12} = y \cdot \frac {8} {12} = z \cdot \frac {9} {12}.

To vieme vynásobením všetkých strán rovnice 12​ upraviť na 6x = 8y = 9z. Takže polovice, tretiny a štvrtiny sú preč. Teraz chceme nájsť čo najmenšiu hodnotu vody v jednotlivých pohároch, ktorú si označím ako h​, vtedy nájdeme aj najmenšie hodnoty x,y,z​.

Vieme, že h​ je deliteľné 6,8,9​ (aby x,y,z​ bolo celé). Vieme teda, že h​ je najmenší spoločný násobok 6,8,9​, čo je 72​. Z toho vieme zistiť už hodnoty x,y,z​:

  • x = 72:6 =12,
  • y =72:8=9,
  • z = 72:9=8.

Ak by sme chceli ešte zistiť objem vody vo fľaši (čo zároveň je aj skúška správnosti, že všade mám rovnako veľa vody), tak vieme, že polovica z 12​ je 6​, dve tretiny z 9​ je 6​, tri štvrtiny z 8​ je 6​. Vo fľaši je teda 6+6+6=18​ jednotiek vody.

Odpoveď: Objem nádob je 12​, 9​ a 8​ jednotiek vody.