9. príklad - Vzorové riešenie

Na označenie skutočnosti, že a delí b používame zápis a\mid b. Naopak, ak a nedelí b, tak píšeme a\nmid b. Teda napríklad 3\mid 6 alebo 7 \mid 21, ale 2\nmid 9​. Úloha 9 tak od nás požaduje, aby sme našli všetky celé n \geq 6 také, že n\mid (n-4)!.

Overme najprv prípady, kedy n\in \{ 6,7,8,9 \}. Pre n=6 dostávame (n-4)! = 2! = 2 a zrejme 6 \nmid 2, preto n=6 nevyhovuje. Pre n=7 dostávame (n-4)!=3!=6, avšak opäť platí 7\nmid 6, teda ani n=7 nevyhovuje. Pre n=8 máme (n-4)!=4!=24, a keďže platí 8\mid24, tak vidíme, že n=8 vyhovuje. A nakoniec ak n=9, tak (n-4)!=5!=120, avšak 9\nmid 120, a teda n=9 úlohe nevyhovuje. Po zvyšok riešenia tak uvaužjme iba n\geq 10.​

Všimnime si najprv, že ak by n=p bolo prvočíslo, tak potom aby platilo p\mid (p-4)!, muselo by sa prvočíslo p nachádzať v prvočíselnom rozklade čísla (p-4)! = 1\cdot 2 \cdot 3\cdot \ldots \cdot (p-4). To znamená, že prvočíslo p by sa však muselo nachádzať aj v prvočíselnom rozklade aspoň jedného z čísel 1, \ 2, \cdots, p-4​. To je však nemožné, keďže p​ je väčšie ako každé z nich. 

Ostáva tak vyriešiť prípad, kedy n\geq 10 je zložené číslo. Ak n je zložené číslo, potom existujú celé čísla a,b​ také, že platí ab=n a zároveň 1\lt a,b\lt n. Nech a je z dvojice a,b to menšie číslo (resp. menšie alebo rovné ak platí a=b). Platí tak 1\lt a\leq b \lt n. Keďže sme v celých číslach, 1\lt a je to isté ako 2 \leq a. Potom dostávame odhad ​2b \leq ab=n​, odkiaľ po predelní číslom 2 máme b \leq \frac{n}{2}.

Všimnime si navyše, že pre n\geq 10 platí , že \frac{n}{2} \geq 5, a teda pripočítaním \frac{n}{2} k obom stranám platí aj n\geq \frac{n}{2}+5, takže odčitaním 5 dostávame aj \frac{n}{2}\leq n-5. Dokopy tak dostávame, že pre zložené n\geq 10 platí, že existujú celé a,b také, že ab=n a zároveň

​2\leq a\leq b\leq \frac{n}{2} \leq n-5\lt n-4.

Vidíme tak, že ak tieto a,b sú rôzne (teda platí a\lt b​), tak potom také n vyhovuje, keďže obe z čísel a,b sa nachádzajú niekde v množine \{1, \ 2, \cdots, n-4\}, a teda súčin prvkov tejto množiny bude deliteľný ab, čiže n=ab\mid (n-4)!.​

Čo však v prípade, že platí a=b, teda, že n=a^2? Potom cheme ukázať, že a^2 \mid (a^2-4)!. Na to nám však stačí ukázať, že 2a\leq a^2 - 4. Potom by totiž platilo, že čísla a aj 2a sa nachádzajú v množine \{ 1, \ 2, \cdots, a^2-4 \}, a teda súčin prvkov tejto množiny by skutočne bol násobkom a^2. Táto nerovnosť vskutku platí, keďže n=a^2\geq 10 \implies a\geq\sqrt{10} \implies a\geq 4, a pre a\geq 4 platí

a^2 - 2a+ 1=(a-1)^2 \geq 9 ,

odkiaľ dostávame po úprave

​a^2-4\gt a^2-8\geq2a.

Tým sme ukázali potrebnú nerovnosť, a teda sme s riešením hotoví.

Odpoveď: Vyhovujú všetky zložené čísla n\geq 10 a číslo n=8.

Bodovanie 

Za "manuálne" vyksúšanie (niekoľkých) malých hodôt n sme udeľovali 1 bod. Ďalej, za vyriešenie prípadu kedy n je prvočíslom sme udeľovali 2 body. Za prípad kedy n=a\cdot b je zložené tak bolo udelovaných celkovo až 7 bodov. Z toho 4 za prípad kedy a\neq b, a 3 za prípad a=b. 

Komentár

Pri úlohách kde chceme ukázať, že nejaká vlastnosť platí pre všetky čísla n​ (alebo skupinu čísel), nestačí ukázať, že daná vlastnosť platí pre prvých x čísel, a teda bude platiť už navždy. Treba nájsť nejaký argument pre všoebecné n​, a neopierať sa iba o konkrétne hodnoty n​.

Niektorí uvažovali pri prípade kedy n je zložené prvočíselný rozklad čísla n, avšak toto bola zbytočná komplikácia, a riešenie sa potom zamotalo. Pre túto úlohu plne stačilo uvažovať rozklad čísla n​ iba na dva činitele.​