8. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Stôl je trojuholník ABC taký, že |\sphericalangle ABC |= 30\degree a keď na strane BC zvolíme bod D tak, že |BD| = 2 \cdot |DC|, tak platí, že |BD| = |DA|. Aký veľký je uhol BCA?
Vzorové riešenie
Zo zadania máme |BD| = |DA|, takže trojuholník BDA je rovnoramenný so základňou AB. Uhly pri základniach v rovnoramennom trojuholníku sú rovnako veľké, takže |\sphericalangle BAD| = |\sphericalangle ABD| = 30 \degree. Pozrime sa na uhol |\sphericalangle ADB|. Súčet vnútorných uhlov trojuholníka je 180 \degree, takže 180 \degree = |\sphericalangle ADB| + |\sphericalangle BAD| + |\sphericalangle ABD|. Po dosadení a odčítaní známych uhol dostaneme |\sphericalangle ADB| = 120 \degree. Body B, D, C ležia na priamke a teda |\sphericalangle BDC| = 180 \degree. Pre \sphericalangle BDC platí |\sphericalangle BDC| = |\sphericalangle BDA| + |\sphericalangle ADC|. Po dosadení a odčítaní známych uhlov nám ostane |\sphericalangle ADC| = 60 \degree.
Keď sa pozrieme na obrázok, čo sme zatiaľ ukázali, môžeme si všimnúť, že už viac z náčrtu nedostaneme. Teda ďalšie uhly len pomocou trojuholníkov a susedných uhlov nevieme dopočítať. Podmienku zo zadania |BD| = |DA| sme už využili. Jediné, čo nám ostáva je podmienka |BD| = 2 \cdot |DC|, z ktorej ako tak samej o sebe nevieme nič moc zistiť. Teda potrebujeme si do obrázku niečo doplniť. My si doplníme bod E taký, že E je na priamke DC, |DC| = |CE| a E je rôzny od D.
Zo zadania máme |DA| = |DB| = 2 \cdot |DC|, keďže |DC| = |CE|, tak |DA| = |DC| + |CE| = |DE|. To znamená, že trojuholník ADE je rovnoramenný so základňou AE. Teraz sa pozrime na uhly v ADE: 180 \degree = |\sphericalangle DAE| + |\sphericalangle AED| + 60 \degree. Keďže však ADE je rovnoramenný, tak neše dva neznáme uhly sú rovnako veľké a po úprave rovnosti dostaneme, že |\sphericalangle DAE| = |\sphericalangle AED| = 60 \degree.
Keďže v trojuholníku ADE sú všetky uhly rovné 60 \degree, tak ADE je rovnostranný trojuholník. Bod C je z stred úsečky DE, lebo |DC| = |CE|, takže CA je ťažnica. V rovnostrannom trojuholníku sa však ťažnica zhoduje s výškou a teda CA musí byť aj výška. To však ale znamená, že |\sphericalangle BCA| = 90 \degree.
Odpoveď: Veľkosť uhla \sphericalangle BCA je 90 \degree.
Komentár
Väčšina z vás túto úlohu riešila rovnako, ako sme popísali vo vzoráku, teda ste si doplnili E, ako bolo popísané. Rovnako sa dala úloha doriešiť aj s dokreslením stredu strany AD, spravením kolmice na úsečku AB v bode A, spravením osi strany AB. Na čo si však je treba dávať pozor pri dokreslovaní do obrázka je, či naozaj napríklad dokreslené priamky sa pretnú v správnej polrovine, alebo nejaká päta výšky leží na strane, alebo na jej predĺžení, lebo potom už vám nemusia výpočty vychádzať.