Odporúčaný článok

Riešky tábor - Milí naši Rieškari, ako je už zvykom, aj tento rok sme si pre Vás pripravili Letný tábor Riešok. Je to desaťdňová akcia počas ktorej sa zabavíte, niečo naučíte a hlavne … Prejsť na článok

×

7. príklad - Vzorové riešenie

Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Vyriešte v obore nezáporných reálnych čísel rovnicu:

\displaystyle 4\lfloor x \rfloor = 3x

Poznámka: Symbol \lfloor a\rfloor označuje najväčšie celé číslo menšie alebo rovné a.

Vzorové riešenie

Opravovali: Peter, duško, rudolfkusy
Máme rovnicu

4 \lfloor x \rfloor = 3x.

Rozdeľme si x na časť, ktorá je celým číslom a na desatinnú časť, ktorú označme y​. Takže x = \lfloor x \rfloor + y a ďalej

\begin{aligned} 4 \lfloor x \rfloor &= 3 \cdot ( \lfloor x \rfloor + y)\\ 4 \lfloor x \rfloor &= 3 \cdot \lfloor x \rfloor + 3 \cdot y &/ - 3 \lfloor x \rfloor\\ \lfloor x \rfloor &= 3y. \end{aligned}

Keďže y je desatinná časť tak vieme, že 0 \leq y \lt 1. Taktiež vieme, že \lfloor x \rfloor je celé číslo, teda aj 3y je celé číslo. Takže y​ bude zlomok s menovateľom 3​ a celočíselným čitateľom, pretože po prenásobení 3 potom tento zlomok bude celé číslo. 3 \cdot {z \over 3} = z.

A aký môže byť celočíselný čitateľ? Vieme, že y je menej ako jedna teda z \lt 3, takže z môže byť 0, 1 alebo 2. Dosaďme teraz do rovnice y = {0 \over 3} = 0.

\begin{aligned} \lfloor x \rfloor &= 3y = 3 \cdot 0 = 0\\ 3 \cdot x &= 4 \lfloor x \rfloor = 4 \cdot 0 = 0\\ x &= 0. \end{aligned}

Rovnaký výpočet teraz spravíme aj pre y = \frac{1}{3} a y = \frac{2}{3}.

\begin{aligned} \lfloor x \rfloor &= 3y = 3 \cdot \dfrac{1}{3} = 1\\ 3 \cdot x &= 4 \lfloor x \rfloor = 4 \cdot 1 = 4\\ x &= \dfrac{4}{3}. \end{aligned}

\begin{aligned} \lfloor x \rfloor &= 3y = 3 \cdot \dfrac{2}{3} = 2\\ 3 \cdot x &= 4 \lfloor x \rfloor = 4 \cdot 2 = 8\\ x &= \dfrac{8}{3}. \end{aligned}

Odpoveď: Tri možnosti pre x spĺňajú zadanú rovnicu. Sú to x = 0, x = {4 \over 3} a x = {8\over 3} .