3. príklad - Vzorové riešenie

Táto úloha sa dala riešiť viacerými spôsobmi. Tu ukážeme dva z nich.

Riešenie cez deliteľnosť

Keďže \frac{2}{7} účastníkov pozerajú do mobilu, počet účastníkov musí byť deliteľný 7​. Ak by to tak nebolo, počet účastníkov pozerajúcich do mobilu by bolo desatinné číslo, čo nemôže byť. Ak by bolo účastníkov viac ako 63​, bolo by im vidno viac ako 63\cdot \frac{5}{7} =45 hláv. Keďže ale hláv vidíme dokopy len 45​, toto nemôže nastať.

Stačí teda rozobrať možnosti, kde je počet účastníkov násobok sedmičky od 0​ do 63​.
Počet hláv, ktoré je účastníkom vidno ľahko zistíme tým, že vypočítame \frac{5}{7} z počtov účastníkov. Aby sme mali spolu 45 hláv, počet kobýl vypočítame ako počet hláv ktoré je vidno, teda 45, mínus viditeľné hlavy účastníkov.
Nakoniec už len stačí sčítať počet nôh účastníkov (počet účastníkov krát 2​) a počet nôh kobýl (počet kobýl krát 4​).

Ako vidíme z tabuľky, správny počet nôh nám vyjde jedine v možnosti, že účastníkov je 21​ a kobýl 30​.

Riešenie cez rovnice

Označme si U= počet účastníkov, K=​ počet kobýl. Teraz vieme vytvoriť 2 rovnice. Jednu na počet nôh a druhú na počet hláv.

Keďže každý účastník má ​2 nohy, každá kobyla má 4​ nohy a spolu majú 162​ nôh, tak platí:
2\cdot U+4\cdot K=162​​
Hlavy nevidíme \frac{2}{7} účastníkov, čo znamená, že \frac{5}{7} účastníkov ich vidíme. Každá kobyla má iba jednu hlavu a spolu je hláv 45​, čím dostaneme nasledovnú rovnicu:
K+\frac{5}{7} \cdot U=45​​
Z druhej rovnice si nasledovne vyjadríme K​. Od oboch strán odčítame \frac{5}{7} \cdot U​ a dostávame:
K=45-\frac{5}{7} \cdot U​​

To teraz dosadíme do rovnice o nohách:

​162 = 2\cdot U + 4\cdot (45 - \frac{5}{7} \cdot U)

162 = 2\cdot U + 180 - \frac{20}{7} \cdot U         / - 180

-18 = 2\cdot U - \frac{20}{7} \cdot U                    / 2\cdot U = \frac{14}{7} \cdot U

-18 = \frac{14}{7} \cdot U - \frac{20}{7} \cdot U

-18 = -\frac{6}{7} \cdot U                                 /\cdot (-7)

126 = 6\cdot U                                       / :6

21 = U​​​

Počet kobýl potom už len jednoducho dopočítame:
K = 45-\frac{5}{7} \cdot U = 45 - \frac{5}{7} \cdot 21 = 45 - 15=30

Teraz už stačí len urobiť skúšku správnosti:
Rovnica o nohách: 2\cdot U + 4\cdot K = 2\cdot 21 + 4\cdot 30 = 42 + 120 = 162    SEDÍ
Rovnica o hlavách: K + \frac{5}{7} \cdot U = 30 + \frac{5}{7} \cdot 21 = 30 + 15 = 45    SEDÍ

Odpoveď:
Účastníkov bolo 21​ a kobýl 30​.

Komentár

Pri riešení pomocou deliteľnosti sa dá veľmi jednoducho zabudnúť, že účastníkov môže byť aj 0​. Stále však treba preskúmať aj túto možnosť.