2. príklad - Vzorové riešenie

Označme si naše hľadané 9 -ciferné číslo \overline{ABCDEFGHI}. Toto číslo je ish palindrómom, ak po pridaní číslice X na jeho začiatok, je číslo \overline{XABCDEFGHI}  palindróm a zároveň po pridaní potenciálne inej číslice Y na jeho koniec je číslo \overline{ABCDEFGHIY} tiež palindrómom, teda číslom, ktoré sa číta rovnako odpredu aj odzadu. Teraz si spojíme číslice, ktoré musia byť rovnaké, aby bolo číslo \overline{XABCDEFGHI} palindróm.

Teda musí platiť, že X = I, A = H, B = G, C = F, D = E.

Ďalej spojíme číslice tak, aby bolo číslo \overline{ABCDEFGHIY} tiež palindrómom.

Teda musí platiť, že A=Y, B=I, C=H, D=G, E=F.

Vidíme, že X sa rovná číslici I, I sa rovná číslici B a tá je zas rovnaká ako číslica G … Preto všetky číslice musia byť rovnaké, a teda platí: 

X=I=B=G=D=E=F=C=H=A=Y

Výsledný ish palindróm teda bude vyzerať nasledovne: 

\overline{AAAAAAAAA}

A nemôže byť 0 keďže 9-ciferné číslo nemôže začínať 0, a teda máme 9 možností 9-ciferných ish palindrómov nakoľko máme 9 možností pre A: 

111111111, 222222222, \dots,999999999

Podobne vieme postupovať aj pri 10-cifernom ish palindróme. Označíme si ho \overline{ABCDEFGHIJ}.

 Po pridaní X na začiatok musí byť číslo \overline{XABCDEFGHIJ} palindróm.

Teda musí platiť, že X = J, A = I, B = H, C = G, D = F

Vieme, že náš ish palindróm bude palindróm aj keď pridáme číslo Y na jeho koniec. Potom získame ďalšie dvojice číslic, ktoré sa musia rovnať, aby sme získali palindróm:

Teda musí platiť, že A = Y, B = J, C = I, D = H, E = G

Čiarami sme spojili všetky čísla ktoré budú rovnaké. Môžeme si všimnúť, že pri 10 cifernom ish palindróme sa nám nespojili všetky čísla, ale len každé druhé. Vďaka tomu vidíme, že:

X=J=B=H=D=F        a        Y=A=I=C=G=E

Výsledný ish palindróm potom vyzerá takto:

\overline{ABABABABAB}

Cifra A nemôže byť 0, lebo inak by číslo nebolo 10-ciferné. No ani cifra B nemôže byť 0, lebo keby bola nula, tak A bude určite rôzne od B, teda pôvodné číslo nebude palindróm a taktiež po pridaní cifry 0 na začiatok sa číslo nezmení, teda to stále nebude palindróm. Napríklad číslo 1010101010 nie je ish palindróm, lebo by sme dostali číslo 01010101010  a to by začínalo 0, čo nie je možné.

Dokopy máme teda 9 možných cifier na miesto cifry A a 9 na miesto cifry B. Pre každú jednu cifru A máme teda 9 možností pre cifru B a keďže je 9 možných cifier A, tak dokopy existuje  9\cdot9=81 možností pre 10-ciferný ish palindróm:

1111111111, 1212121212, 1313131313,........,9999999999

Odpoveď:

99-ciferných ish plaindrómov je 9999999

10-ciferných ish plaindrómov je 81