5. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Vyplňte štvorce na jeho mozaike nezápornými celými číslami (0, 1, 2, 3, \dots) tak, že v každom riadku, v každom stĺpci aj na oboch uhlopriečkach bude rovnaký súčet. Do súčtu sa rátajú čísla na všetkých štvorčekoch, ktoré v riadku/stĺpci/uhlopriečke majú aspoň časť. Napríklad súčet v prvom riadku by bol číslo v modrom štvorci plus číslo v červenom štvorci plus čísla v dvoch bielych. Nájdite všetky možnosti vyplnení štvorca a vysvetlite, prečo nemôžu byť iné.
Vzorové riešenie
Označme si hodnoty v štvorcoch x,y a z ako na obrázku. Potom súčet v 3. riadku bude x+y+z.
Na uhlopriečke z ľavého horného do pravého dolného rohu bude však súčet x+y+z+dva biele štvorce. To znamená, že súčet v tých dvoch štvorcoch musí byť 0 a keďže všetky čísla v štvorcoch musia byť nezáporné, tak v dvoch bielych štvorcoch musia byť nuly.
Rovnakú úvahu spravme s 3. stĺpcom a druhou uhlopriečkou. Z toho vyplýva, že vo zvyšných dvoch bielych štvorcoch musia byť tiež nuly.
V každom riadku, stĺpci a na každej uhlopriečke musí byť teraz súčet x+y+z, lebo tento súčet už máme v 3. riadku.
V 1. stĺpci máme zatiaľ y a červený štvorec a chceme, aby bol súčet x+y+z, teda v červenom štvorci musí byť x+y+z-y=x+z
V 5. stĺpci máme zas z a červený štvorec, teda v červenom štvorci bude x+y++z-z=x+y
V 2. riadku máme teraz y,x+y a k tomu modrý štvorec. teda v modrom štvorci musí byť x+y+z-y-(x+y)=z-y
V 4. riadku máme zas z, x+z a ešte modrý štvorec, teda ten musí mať hodnotu x+y+z-z-(x+z)=y-z
Teraz máme štvorec s hodnotou z-y aj štvorec s hodnotou y-z. Ak by bolo z\gt y, potom by bolo y-z záporné a ak y\gt z, tak zas z-y bude záporné. No všetky čísla vo štvorcoch musia byť nezáporné, teda musí platiť y=z
Potom z-y aj y-z sú rovné 0, teda súčet v treťom stĺpci je 0+x+0=x, teda všade musí byť súčet x.
V treťom riadku je súčet x+y+z a chceme, aby aj toto bolo x. Teda x+y+z=x , z toho y+z=0 a keďže sú nezáporné, tak musia byť obe 0.
Teraz teda vieme, že v každom bielom a v každom modrom štvorci je 0. Ostali nám teda už len červené štvorce a žltý štvorec. Ak skontrolujeme obe uhlopriečky, všetky riadky a všetky stĺpce, zistíme, že v každom je práve jeden červený, alebo žltý štvorec. Teda hodnota každého riadku, stĺpca a uhlopriečky je práve jeden žltý, alebo jeden červený štvorec. Keďže sú súčty rovnaké, tak aj čísla v červených a žltom štvorci musia byť rovnaké a tým, že je v každom riadku, stĺpci a na každej uhlopriečke práve jeden takýto štvorec, tak to číslo, ktoré dáme do červených a žltého štvorca môže byť ľubovoľné.
Odpoveď: všetky možnosti vyplnenia štvorca sú také, kde v červených štvorcoch a žltom štvorci je všade rovnaké číslo a v ostatných štvorcoch sú nuly.