4. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Newton si povedal, že si vyberie tri rôzne nenulové cifry a vytvorí z nich všetky možné trojciferné čísla. Keď sčítal 5 z nich, dostal súčet 3348. Teraz sa Leibniza pýta: „Aké je posledné číslo z trojciferných kombinácií, ktoré som nezarátal do súčtu?“ Pomôžte Leibnizovi nájsť toto číslo. Nájdite všetky možnosti a vysvetlite, prečo iné už nie sú.
Vzorové riešenie
Cifry, ktoré si Newton vybral nazveme a,b,c. Možnosti pre trojciferné čísla vytvorené z cifier a,b,c sú tieto: abc, acb, bca, bac, cab, cba.
Ďalej budeme pracovať s desiatkovým rozkladom týchto čísel. Napríklad číslo abc bude mať desiatkový rozklad 100 \cdot a+10 \cdot b+1 \cdot c. Teraz si zoberme súčet všetkých týchto čísel:
abc+acb+bca+bac+cab+cba = 200a + 20a + 2a + 200b + 20b + 2b + 200c + 20c + 2c
Vidíme, že a je na mieste stoviek dvakrát, na mieste desiatok dvakrát a aj na mieste jednotiek dvakrát. To isté platí aj pre b aj pre c.
To znamená, že po úprave dostaneme:
abc+acb+bca+bac+cab+cba = 222(a+b+c)
Zo zadania vieme, že 3348 je súčet piatich z týchto šiestich čísel a teda platí, že
222(a+b+c) = 3348 + abc. (Náhodne sme si vybrali abc, pretože nakoľko sa cifry rovnako často v tých šiestich číslach opakujú, je jedno ktoré z čísel vyberieme.)
Pozrime sa teraz na krajné možnosti čísla abc.
Najviac, čomu sa môže abc rovnať je 987, pokiaľ by sme použili tri najväčšie cifry. Pokiaľ si to dosadíme za abc, dostaneme rovnicu:
222(a+b+c) = 4335
Najmenej, čomu sa môže abc rovnať je číslo 123, pokiaľ by sme použili tri najmenšie cifry. Pokiaľ si to dosadíme za abc, dostaneme rovnicu:
222(a+b+c) = 3471
Z tohto nám vyplýva, že ideme hľadať také násobky 222, ktoré sú menšie ako 4335 ale väčšie ako 3471. To sú nasledovné:
222 \cdot 16 = 3552
222 \cdot 17 = 3774
222 \cdot 18 = 3996
222 \cdot 19 = 4218
Nakoľko tu sme našli možnosti pre súčty všetkých šiestich čísel, ale v zadaní sa nás pýtajú na posledné číslo, ktoré Newton nezarátal do súčtu, musíme od týchto súčtov všetkých šiestich čísel odrátať 3348, čo je súčet piatich z nich.
222 \cdot 16 - 3348 = 204
222 \cdot 17 - 3348 = 426
222 \cdot 18 - 3348 = 648
222 \cdot 19 - 3348 = 870
Teraz zistíme, ktoré z týchto možností by naozaj mohlo byť to posledné číslo:
204 ani 870 to byť nemôžu, keďže vieme, že Newton si vybral nenulové cifry.
462 to byť nemôže, pretože jeho ciferný súčet (a+b+c) je 12 no malo by byť 17.
648 to môže byť, pretože jeho ciferný súčet je 18, čo sedí.
Odpoveď: Dokázali sme, že jediné číslo, ktoré Newton nezarátal do súčtu je 648.