8. príklad - Vzorové riešenie

Najprv si uvedomme dve vlastnosti NSD:

    c \cdot NSD(a,b) = NSD(c\cdot a,c\cdot b)

Táto rovnica platí preto, že ak NSD(a,b)=k tak vieme a vyjadriť ako x \cdot k a b vyjadriť ako y \cdot k pričom x a y sú nesúdelitelné. Potom c \cdot a = c \cdot x \cdot k a c \cdot b = c \cdot y \cdot k, takže NSD(c\cdot a,c\cdot b) = NSD(c\cdot x \cdot k,c\cdot y \cdot k) a kedže x a y sú nesúdeliteľné tak sa táto rovnica bude rovnať c \cdot k. Na druhej strane máme c \cdot NSD(a,b) a kedže vieme, že NSD(a,b)=k tak táto rovnica sa bude tiež rovnať c \cdot k.​

    NSD(NSD(a,b), NSD(c,d)) = NSD(a,b,c,d)

Pre túto rovnicu si povedzme, že NSD(a,b)=k a NSD(c,d)=l potom rovnako ako v predošlej rovnici si vyjadríme čísla a, b, c, d pomocou spoločných deliteľov a zapíšeme si ich do pravej časti rovnice NSD(x \cdot k, y \cdot k, z \cdot l, w \cdot l), kedže x,y sú nesúdeliteľné tak ani jedna z nich sa nenachádza vo výsledku a to isté platí o z, w, takže táto NSD sa bude rovnať NSD(k,l), čo si môžeme všimnúť že je také isté ako na ľavej strane.​

Teraz sa poďme pozrieť na dôkaz:
Rovnicu dokážeme tak, že si vezmeme jednu stranu rovnice a budeme ju upravovať, dokým nebude rovnaká ako druhá strana rovnice. Pri takomto spôsobe si však treba dať pozor, aby sme upravovali iba túto jednu stranu, teda napríklad nemôžeme nič prirátavať, ale ani násobiť a podobne.

Takže, vezmime si ľavú stranu rovnice:

​NSD(a,c) \cdot NSD(a,d)

Tu použijeme jednu z vlastností, ktorú sme uviedli na začiatku zadania, a to tú prvú:

​NSD(NSD(a,c) \cdot a, NSD(a,c)\cdot d)

Všimnime si, že sme len obe čísla v NSD(a,d) vynásobili výrazom NSD(a,c). Vieme si však všimnúť, že ten istý trik vieme použiť znova, a dostať a a d do vnútra zátvoriek:

NSD(NSD(a \cdot a,a\cdot c),NSD(d \cdot a,d \cdot c))

Teraz použijeme druhú vlastnosť, ktorú sme na začiatku uviedli. Vidíme, že máme veľa NSD v sebe, a tak ich môžeme zjednodušiť do jednej, ako v príklade na začiatku:

NSD(a\cdot a,a\cdot c,d \cdot a,d\cdot c)

Pozrime sa na posledný člen tohoto NSD. Je to c \cdot d, a my zo zadania vieme, že c\cdot d=a \cdot b, a teda v tomto výraze môžeme c\cdot d nahradiť a\cdot b.

NSD(a\cdot a,a \cdot c,a \cdot d,a \cdot b)

Tu vieme opäť použiť prvú vlastnosť NSD, pretože každý člen násobíme a, a teda ho môžeme vyňať pred NSD.

a\cdot NSD(a,c,d,b) = a \cdot NSD(a,b,c,d)

No, a vidíme, že sme sa iba úpravami ľavej strany rovnice dostali k pravej, a teda sme rovnosť dokázali.

Komentár

Veľa z vás malo problém skutočne popísať a dokázať vaše riešenie, a často ste urobili nejakú drobnú chybičku alebo predpoklad, prípadne ste nejakú vec jednoducho zle dokázali. Za toto sme strhli väčšinu bodov. Dobrý tip do budúcna je, že pri dokazovacích príkladoch je takmer vždy lepšie si veci zapísať matematicky, vo výrazoch.