Kategórie:
5
6
7
8
9

Zadanie

Na jednom z jeho náčrtov bol štvorec ABCD. Bod E ležal vnútri tohto štvorca ABCD tak, že ABE je rovnostranný trojuholník. Bod F ležal na úsečke BC tak, že |FE| = |CE|. Zistite veľkosť uhla FEB.

Vzorové riešenie

Opravovali: JozefB, MartinŠ, Peter, SamuelHavalda

Začneme tým, že si všimneme, že |EB|​ je rovnaká ako |AB| lebo obe sú stranami rovnostranného trojuholníka. |BC|​ je tiež rovnaká ako |AB|​, obe sú strany štvorca. Z toho dostávame, že |EB|=|BC| a teda trojuholník EBC​ je rovnoramenný.

Teraz si môžeme poprenášať nejaké uhly:

Vieme, že |\angle ABE|​ je 60\degree​ kvôli rovnostrannému trojuholníku a |\angle ABC|​ je 90\degree​ kvôli štvorcu. |\angle EBC| bude teda 90\degree-60\degree=30\degree

Do rovnoramenného trojuholníka EBC​ si môžeme dorátať uhly pri základni - vieme, že oba sú rovnaké a spolu s |\angle EBC|​ majú súčet 180\degree​, teda dostávame 2|\angle EBC|+30\degree=180\degree​. Čo vyriešime a dostaneme |\angle EBC|=75\degree​. Zo zadania je |CE| = |FE|​, teda trojuholník CEF je rovnoramenný tiež, kvôli tomu sa uhly pri jeho základni rovnajú - 75\degree si môžeme preniesť aj na EFC​.

Uhol CEB​ je rozdelený na dve časti zo súčtom 75\degree​, dopočítame si deda |\angle CEF|​ a |\angle FEB|​ už zistíme ľahko.

V trojuholníku CEF už poznáme dva uhly, teda tretí je: 180\degree-75\degree-75\degree=30\degree​. Uhol FEB​ je jeho doplnkom do 75\degree, teda je 75\degree-30\degree=45\degree​.

Odpoveď: |\angle FEB| = 45\degree