5. príklad - Vzorové riešenie
Zadanie
Keď sa nezaoberali náročnými výpočtami a písomnou korešpondenciou s autoritami, radi si zahrali karty. Raz si náhodne vylosovali 5 kariet. Na každej karte bolo celé číslo (mohlo byť aj záporné). Potom vytvorili z vylosovaných kariet všetky možné dvojice. Čísla na kartách vo dvojiciach sčítali a tak dostali 10 rôznych súčtov. Tieto súčty boli: 0, 2, 4, 4, 6, 8, 9, 11, 13 a 15. Aké čísla boli na piatich vylosovaných kartách? Nájdite všetky možnosti.
Vzorové riešenie
Nazvime si naše čísla tak, aby boli zoradené od najmenšieho: a \lt b \lt c \lt d \lt e.
Vieme, že najmenší súčet musel vzniknúť ako a+b. Druhý najmenší musel byť a+c lebo b+c, a+d a aj všetky súčty obsahujúce e vieme zmenšiť keď jeden zo sčítancov zmeníme za menší. Máme teda:
(1)\space\space\space a+b=0
(2)\space\space\space a+c=2
Podobne poznáme najväčší a druhý najväčší súčet.
(3)\space\space\space d+e=15
(4)\space\space\space c+e=13
Keď poznáme tieto súčty, vedeli by sme napríklad vypočítať hodnotu c, ak by sme poznali celkový súčet všetkých piatich čísel. Ale ten zistiť vieme! Všetkých 10 súčtov dáva dokopy 0+2+4+4+6+8+9+11+13+15=72, a každé číslo sa nachádza v štyroch súčtoch (z každým iným číslom raz). Teda 72=4\cdot a+4\cdot b+4\cdot c+4\cdot d+4\cdot e, po vydelení štyrmi a+b+c+d+e=18. Teraz môžeme odčítať rovnice (1) a (2). Teda a+b a d+e z jednej strany, a ich súčty 0 a 15 z druhej. Ostane nám c = 3.
Po dosadení tejto hodnoty do rovníc (2) a (4) dostávame:
(2)\space\space\space a+3=2\implies a=-1
(4)\space\space\space e+3=13\implies e=10
a môžeme ďalej dosádzať:
(1)\space\space\space -1+b=0\implies b=1
(3)\space\space\space d+10=15\implies d=5
Teraz už poznáme všetkých päť čísel, a vieme že žiadne iné by nemohli sedieť. Ostáva nám teda už len presvedčiť sa, že je to správne riešenie, a naozaj dostaneme zadané súčty:
a | b | c | d | e | |
+ | -1 | 1 | 3 | 5 | 10 |
-1 | 0 | 2 | 4 | 9 | |
1 | 4 | 6 | 11 | ||
3 | 8 | 13 | |||
5 | 15 | ||||
10 |
Odpoveď: Čísla na kartičkách boli -1, 1, 3, 5, 10